データを並び替えたときの標準偏差

質問

こんにちは。
以下のような実験を行ったのですが、その解釈についてご教授お願いします。

【操作(1)】
ある測定を150回繰り返したときの結果を、測定の時系列順に並べたものを、Ｘ（１）、Ｘ（２）、・・・、Ｘ（１５０） とします。
これを時系列順に3個ずつ平均値を取ったものをＡ（１）、Ａ（２）、・・・、Ａ（３０）とし、この平均値Ａの標準偏差をσ１とします。

【操作(2)】
上記のデータXを乱数（エクセルのRND関数）を使って、並び替える。
例）　X(126)、X(54)、・・・、X(3)
これを順に3個ずつ平均を取ったものをA'(1),A'(2),・・・A'(30)とし、このA'の標準偏差をσ2とします。

操作(2)を10回行ったところ、10回ともσ１のほうがσ2よりも大きくなりました。
Ｘの値が測定時間に依らないのであるなら、必ずしもσ1＞σ2とならないのではないかと思います。
これはＸに何らかの周期的な成分が含まれているということなのでしょうか。
それとも、上記操作を行ったとき、σ１＞σ２となることは、自明なのでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.5

rabbit_cat

そういうふうに時系列データを並び替えて、同じ処理をしてみて、元のデータに対する処理結果と比較する、という操作を「サロゲーション」と言ったりします。

あるいは、統計の分野では「ブートストラップ」なんていいます。
（ただし、今回の例は、並び替えると性質が変わってしまっているわけで、ブートストラップというには少し不適ですが。）

おそらく、時系列データに自己相関があるんでしょう。特徴的な周期的な成分がなくても、単に自己相関がある程度あれば、そのような結果になると思われます。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

時系列信号にして LPF を通しているのと同じだから
平滑されて分散が減少するのは当然だと思います。

回答No.3

foomufoomu

＞Ｘの値が測定時間に依らないのであるなら、必ずしもσ1＞σ2とならないのではないかと思います。
それでよいと思います。

＞これはＸに何らかの周期的な成分が含まれているということなのでしょうか。
周期３(以下?)で同じパターンを繰り返している成分がある、ということでしょう。

しかし、普通、平均をとってから標準偏差を計算するという事はしないものですが、なぜそんなことをするのでしょうか？
平均をとるのは、ハイカット フィルターを通していることになりますし、時間に依存しないデータでは標準偏差がかなり小さく計算されます。

回答No.2

imoriimori

「Ｘの値が測定時間に依らないのであるなら、必ずしもσ1＞σ2とならないのではないかと思います。」私もそう思います。

「Ｘに何らかの周期的な成分が含まれている上記操作を行ったとき、σ１＞σ２となることは、自明なのでしょうか」そんなはずはないと思います。

「Ｘに何らかの周期的な成分が含まれているということなのでしょうか」はなんとも云えませんが、とにかく何か癖のあるデータだと云うことでしょう。
例えばＸがゆっくりとドリフトしていくようなケースではσ１＞σ２となり得るように思います。

回答No.1

doc_somday

それはガウス分布を「強制的に」再分散させているためだと思います。
だたし私は素人。