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-1~1までの一様乱数の平均値と標準偏差、標準誤差について

-1~1までの一様乱数の平均値と標準偏差、標準誤差について サンプルとなる乱数の数が増えるほど平均値は0に近づきますよね? そのサンプルを1,10,100,・・・とどんどん増やしていくときの 平均値と標準偏差、標準誤差の挙動を知りたいです。 サイトではどこも○○個のサンプルではこうだ!としか載っていないので。。 こういったことがわかるサイト、書籍はないでしょうか。

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 平均値が必ず0に近づくとは限りません。わずかな確率ですが、ご質問のような乱数を100万個集めたとしても、その平均が0.999以上になることはあります。「確率1で0に近づく」と表現すれば正確です。  X1、…、Xnを独立で同一の分布(ご質問のケースでは-1から1までの一様分布)に従う確率変数(乱数)とします。標本平均Mと標本分散S^2を次のように定めます:   M = Sum(Xi | i=1,…,n)/n         (ご質問の「平均値」)   S^2 = Sum((Xi - M)^2 | i=1,…,n)/(n-1)  (ご質問の「標準偏差」の平方)    (Sum( | i=1,…,n)は、iが1からnまで動くときの総和を表す。)  また、確率変数の平均(期待値)、分散、共分散を、それぞれE()、V()、Cov()で表すことにします。ご質問の「サンプルを増やしていくときの挙動」については、E(M)、V(M)、E(S^2)、V(S^2)、及びCov(M, S^2)が、nを増やしていくときどうなっていくかを調べれば、大体分かります。 (一般的結論)  E(X1) = μ、V(X1) = σ^2、E((X1 - μ)^3) = τ、E((X1 - μ)^4) = κとすると、次の式が成立します。   (1) E(M) = μ   (2) V(M) =σ^2 / n   (3) E(S^2) =σ^2   (4) V(S^2) = κ/n - σ^4×(n-3)/(n(n-1))   (5) Cov(M, S^2) = τ/n  とくに(2)と(4)から、n→∞のときV(M)→0、V(S^2)→0となりますが、さらに、「チェビシェフの不等式」というのと「ボレル=カンテリの定理」というのを使って、   「nが大きくなるとき、Mは確率1でμに近づき、S^2は確率1でσ^2に近づく」 ことを証明できます。  加えて、ある緩い条件を満たせば、nが大きいとき、「中心極限定理」により、   「Mとσ^2の結合分布は2次元正規分布で近似」 されます。 (ご質問のケース)  X1が -1から1までの一様分布に従うときは、μ= 0、σ^2 = 1/3、τ=0、κ=1/5なので、   (1)' E(M) = 0   (2)' V(M) = 1 / 3n   (3)' E(S^2) = 1 / 3   (4)' V(S^2) = 1/5n - (1/9)×(n-3)/(n(n-1))   (5)' Cov(M, S^2) = 0 となります。  よって、nが大きくなるとき、Mは、確率1で0に近づき、S^2は、確率1で1/3に近づきます。なお、標準偏差(S)は、確率1で 1/3の平方根 = 0.57735… に近づきます。  このケースでは、中心極限定理も適用できます。 (サイト、書籍)  確率変数の収束に関するテーマなので、「確率変数、収束」のキーワードで検索すれば、関係するインターネットサイトがたくさん見つかります。本格的に勉強するならば、下の参考文献があります。 (参考文献) 伊藤清(1953), "確率論", 岩波書店

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質問者からのお礼

丁寧な解説、また参考図書等のご紹介までありがとうございます。 初歩的なところで申し訳ないですが、「確率1」とはどのような意味でしょうか。

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