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水の粘弾性の力
プールに腹から飛び込んだりして痛いのは水の粘弾性によるものだと聞きました。高さがあるとブロックでも粉々になるそうです。 そこで質問なんですが、物体が水へ落下した時に物体にかかる力は高さや物体の質量、重さ、表面積などから計算で求めることができますか？
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- tgb
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＃６の議論に関係します。 粘性に関しては私は１次的には物体が受ける力には大きな影響は与えないのではと考えます。 お腹に手を当てたままできる限り勢いよく滑らしてみても痛いと思う人はいないでしょう。これに対して平手でパシッとお腹の面に垂直にたたいてみるとそれほどの力を要さずに痛いと感じることが出来ます。プールの飛び込みで感じる痛みはほとんど後者の様な考えで説明できるように思います。そもそもお腹の表面まわりを水が移動する場合はどのような速度であれ表面に粘性による境界層ができ、接触面では流速はゼロです。ゼロだからと言って剪断力が働かないとは言えず境界層内(接触面上)の速度勾配に比例する剪断力は作用します。しかし、この大きさは手で素早くこする場合に比べて無視できる程小さいのではと考えます。完璧に水で比較するなら指を伸ばした手のひらを水に浸けて手で水を切るように素早く動かして見れば手のひらで感じる剪断力と飛び込みの時お腹で感じる剪断力がほぼ同等であることを前提に確認できます。また、完全流体を考える場合はお腹の面をスルスルと横滑りして剪断力が働く余地はありません。 次にお腹に作用する力が水の圧縮による弾性的な力によるものかそれとも物体が周囲の水を押しのける際の慣性的な力によるものか(或いはどちらの力が支配的なのか)と言う点について考えてみます。 先の投稿(＃５)では、私には＃１～＃４では弾性的な力のみが議論されているように思えたので、弾性的な力に加えて慣性的な力も重要な要素となると主張したつもりです。ここで慣性的な力の存在を主張するあまり両者の大きさの比較については、ＮＳ方程式に任せれば結論は出てくるし、場合によっては弾性的な力が支配的になることもあり得るかとあまり深く考えるに至らずじまいでした。そこに、＃６で慣性的な力が支配的であると言う議論が出て来ました。なるほどそういうことかとも考えたのですが、そうかなという気持ちも感覚的にですがあったので考えてみました。 思いがけない結論に至ったのですが、お腹の痛さは水の弾性にも動きにも関係ないと言うことです。動きについては動きに関係ないと言うよりは水は動いていない塊と考えるべきと言うことです。つまり木材としてもコンクリートとしても痛さは同じと言うことです。ここで注意すべきことは飛び込みでお腹が着水した瞬間の衝撃を推定するための情報としてはと言うことで、水であろうと木材やコンクリートの上であろうと飛び込んだ結果は全て同じになると言っているのではありません。分かりやすく言い直すと、木材の板でもコンクリートの板でも仰向けに寝て叩いたときのお腹の痛さは大差なく、叩くときの速さが同じであればプールにお腹から飛び込んだときの痛さと同じである、と言うことになります。 このことが言えるのは飽くまでお腹の面でほぼ一様に水面に着水して面に沿う水の動きが無視できる場合(できると考えています)です。また、水・木材・コンクリートで同様の結果になると言うのはそれらの固さ(弾性)よりもお腹自身の固さ(極端に柔らかい)で衝撃が決まると考えるからです。 ブロックが底面を水平にして一様に落下する場合の衝撃力については、私には弾性的な力と慣性的な力との優位性については判断に迷うところがあります。どちらかと言えば弾性力優位なような気がするのですが自信はありません。 その際の判断材料は、バケツいっぱいの水を勢いよく直立した人のお腹に向かってぶっかける場面を想像すると、これは非圧縮で慣性力の効果を考えて衝撃力を推測でき、ぶっかける水の量をかなり増やしても同じに考えてＯＫであろうと自信を持てるのですが、プールいっぱいに湛えられた水に水平に着水する場合に慣性力のみで説明すると言うことには抵抗を感じます。ただ、着水の直後の状況についてであって、その後は徐々に(と言ってもほんの一瞬での話ですが）慣性的な力が優位になるのではと考えます。 (決着は計算か実験でと言うところでしょうか)
#4です。 水は流体です。流体の最も単純な定義は（理想化は）、ちょっと変な言い方ですが、せん断抵抗しない固体です。なので水を普通の弾性体として扱うのは、やはりまずい気がします。粘弾塑性でも同じです。流体は流体として扱いましょう。 次に水の圧縮性ですが、ざっと調べた限りでは1気圧に対して1/2万くらい縮むようです。8000mの日本海溝の底でなら8000気圧で、体積は60％と見積もられますが、その圧力は8000t/m^2というとんでもないものなので（タンカー一隻に載られたくらい(^^;)）、プールの水が人間の飛び込みくらいで縮むと考えるのは、かえって現実離れしています。そこで非圧縮性流体推奨です。 粘性については、経験上での話ですが、腹の皮の近傍では無視できませんが、腹から少し離れると急速に効果が減少するように思えます。という訳で大勢は、非圧縮性完全流体で良い気がします。 物体（人間）を高速で水中に突入させると、水中に突入した物体の体積分だけ、そこにあった水の体積を急速に排除します。排除された体積は、いきなりどっかに飛んでいけないので、水面を隆起させて居場所をつくり、水表面の形が変わります。水表面とは空気と水との境界面です。これが移動境界問題です。 水中に突入した物体表面も水との境界面で、時間とともに位置も形も変わります。これも移動境界の一部です。非圧縮性完全流体なら、NS方程式より計算が楽ですが、一般に移動境界問題はとても厄介な計算になります。アマチュアでは難しいです。でも日本のどこかでは、それなりのところで確実にやられています（~~水理研究所みたいなところ(^^;)）。 ところで体積の排除とは、質量移動です。なんでもそうですが（物体でも）、何かを動かすためには力を作用させる必要があります。力を作用させれば、力を作用させた側に反作用として同じ力が返ってきます。水体積を排除するために力を作用させたのは、物体（人間）です。なので水面を隆起させたのと同じ力（総量）が、衝撃として体に返ってきます。 プールに飛び込んだ時に、ズシンと腹に響くボデーブローがこの反作用で、一方、腹の皮近傍で無視できない粘性は、腹の皮と水の速度差のために、水が粘性で皮を引っ張り「痛い」のだと思います。 ＞高さがあるとブロックでも粉々になるそうです。 アーノルド・シュワルツェネッガーさんが、離陸中のジェット機の車輪から飛び降りるなんて場面に出くわしますが、滑走路が海面であっても、コンクリート壁に衝突したくらいの衝撃を受けるそうです。衝撃力は、衝突速度でほぼ決まります。 短時間で急激に水体積を排除するには、それに見合ったバカ力を作用させねばならず、大きな見返りを食らう訳です。まぁ~、映画ですから(^^;)。
- tgb
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水面に落下した物体が受ける力計算で求めることは一応可能は可能なのでしょうが、 一般には難しいように思えます。 落下物が受ける力を決める要素としては水と物体との境界面の形状(物体の形状)と着水時の物体の速度が重要と言えるでしょう。また、着水後に物体が移動・変形する場合に物体の密度(物体の重量)が関係してきますし、物体と相互に作用して水自身も移動・変形する事になるので水の密度・弾性係数・粘性係数なども物体が受ける力に影響します。水の場合変形と言うより歪み(体積変化)と言うべきでしょうか。 物体は着水すると水に当たり抵抗力を受けて速度が小さくなります。同時に水の側でも反作用として物体から力を受け、その力に応じて流れを生じます。この流れは境界面の動きと既述の水の物性によって決まります。 このような状況の変化を追跡するための微分方程式(ナビア・ストークスの方程式)があって、水の動きと共に水の圧力の時間変化を追跡できます。この圧力の境界面上での値の合力が物体の受ける力になります。この微分方程式を解くのが面倒で大変なのです。水と物体は相互に影響し合うので水の動きを追跡するためには物体の動きも併せて追跡する必要があり、物体側の運動方程式も併せて組み入れる必要がある上に、境界面が変化するというやっかいさに加えて、着水時の物体の速度が大きい場合は水しぶきになって飛びはねる事態も出て来て、ますますやっかいになります。 ただ、条件によっては水の動きを全く考えずに物体が受ける力を計算できる場合があります。 円柱の容器の底に一定の深さの水が入れてあり、上から容器よりわずかに径の小さな同じく円柱のブロックを落とす場合を考えます。落下の際空気の抵抗でブロックが落ちにくいかも知れませんがそれは無視します。すると、着水後、水はブロックの底面にふさがれて行き場を失い、水の流れは生じず、ブロックの底面の下降により押されるままに体積変化を生じます。この場合はナビア・ストークスの方程式の出番を待つこと無しに単純に弾性係数(体積弾性係数)と底面の降下量からブロックの受ける力を計算できます。 おそらく、ブロックの受ける力はこのケースの場合が最も大きくなり、水の動きを許すように条件を変えていくとそれに応じてブロックの受ける力は小さくなると考えられます。 例えば、容器内の水位を大きくすると全体として水の体積歪みは小さくても境界面近傍では面の低下量(<==>ブロックの着水後の移動距離)を大きくでき結果としてブロックが受ける力を低下させます。 また、容器の側面を弾性的に変形できるようにしておくと側面が膨らむことにより境界面の低下による水の移動が容易に出来るのでこれもブロックが受ける力を低下させる効果に寄与します。 容器ではなく一面に張られた水面にブロックを落下させる場合には容器の側面を弾性的に変形できるようにしておく場合とは異なりますがブロック近傍の水の移動が許容される様子には類似性がありブロックが受ける力の低減に関してほぼ同様の効果をもたらすことが分かると思います。 要するにブロックが受ける力はブロックの着水後、境界面近傍を含む水の領域内でどのような水の動きが生じるかに大きく依存して決まります。ブロックが迫ってきたとき、水が脇によけてブロックが動きやすいようにできればブロックには大きな力は作用しません。しかし、水が動ききれずに残ってしまった場合はブロックの動きを許容するためには水自身の体積変化で補う必要が出てくるのでその分ブロックに作用する力が大きくなると言えます。また、素早く迫ってくるブロックに水の側も素早く対応して動くためには水に相応の大きな力を作用させる必要がありますがこれはブロック周囲の水に対しブロック(現在位置或いは少しの時間後での移動先)に近い側と遠い側とで相応の大きな圧力差が生じる事により可能となります。どの程度の水が排除され、どの程度の体積変化が生じて圧力が決まり、従ってブロックに作用する力が決まるのかは微分方程式を解いて初めて明らかになります。 実用的な意味で大雑把に、プールに飛び込む場合のお腹にかかる力がどのくらいかと考える場合、お腹の面の広さを考慮して一瞬の間のお腹の面の近傍の水の移動は無視し、お腹が押される際の弾性的あるいは非弾性的な変形を無視し、更に水しぶきがあがること等によるお腹への衝撃の低減を無視して上の円柱容器の例のような弾性変形理論で計算したとしても大仰なＮＳ方程式による解(解析が実行できたとして)と大差なかったと言うことはあり得るかも知れません。 ただ、頭の先にまっすぐ伸ばした両手をかざして成功の内に飛び込みを成し遂げた場合と失敗をしてぶざまにお腹から飛び込んでしまった場合の違いに関しては理解の手助けになったものと思います。
#2です。まず言いますが、次は余談です。 ＞・・・土木で使う、落石がぶつかったときの衝撃力式のようなもののことですか？ あれは、私が示した原理をもとに、落石の重さ、ヤング率などを経験的にまとめて作ったものですよ。 全く違います。ヘルツの弾性接触力公式（衝撃力式）は、2つの弾性体が、速度vで衝突したケースを理論的に完璧に解いた結果です。あなたの示した原理を基礎として解いたものでは、全くありません。 ＞式の中に v^2 が出てくることから、わかると思いますが。 違います。最大衝突衝撃力は、v^(1.2)に比例します。こんな事さえ知らないとは、ヘルツの弾性接触力公式を実際に調べたとは、とても思えません。 #3さん、あなたはほとんどまともな事を書きますが、こういうケースでは、初学者に対して自分の知らない事を、自分のイメージだけに基づいて吹き込もうとするので、ほっておけなくなります。前にもそう言いましたよね？。 で、これは本題ではありません。私はプールに飛び込んだ時の反動は、弾性力ではないだろうと言いました。痛みは粘性力のせいかも知れないがと。 この点については、どう思われます？。
- foomufoomu
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＞ヘルツの弾性接触力公式（衝撃力式）くらいを提示 ・・・土木で使う、落石がぶつかったときの衝撃力式のようなもののことですか？ あれは、私が示した原理をもとに、落石の重さ、ヤング率などを経験的にまとめて作ったものですよ。 式の中に v^2 が出てくることから、わかると思いますが。 他の例も、工学的に、経験則をもとに修正されたものですね。基本的には、前に示した3つの式に分類できるのですが、実際にはこの3種が入り混じった性状を示すと思います。 ここは、工学カテゴリではなくて、物理カテゴリですから、基本式を示すのが妥当と思って書いています。
＞物体が水へ落下した時に物体にかかる力は高さや物体の質量、重さ、表面積などから計算で求めることができますか？ もちろんできます。もちろん綺麗には解けないでしょうが、コンピュータなんかを使って頑張れば、与えられた条件に対する力の数値の近似値は、必要な精度で計算できるはずです。 ただ水の粘弾性と言われると、ちょっと疑問を感じます。水はふつう、かなりの確かさで「圧縮されないもの」として近似して良い事になっていますので、弾性は関係あるのかな？。でも「痛い」ですからね、そこに粘性が関係するのかも知れない。 次は#1さんへです。 ＞衝突先が弾性体の場合、 ＞衝突直前の運動エネルギーは E=1/2*m*v^2 ＞弾性体のばね変形のポテンシャルエネルギー E=1/2*K*x^2 ＞ K:ばね係数 ＞により変形量xを求めて、F=K*x により衝突時の力を求めます。 こういう近似計算は設計計算上、じつは自分でも日常的にやってたりするんですよ(^^;)。でも質問の趣旨からは弾性体ならば、ヘルツの弾性接触力公式（衝撃力式）くらいを提示するのが妥当だと思いました。 砂の場合ですが、砂に飛び込めば飛び散ってしまいますからね。連続体モデルとして弾塑性体と見るよりも、粉体としてモデル化するのが妥当な気がします。 しかしそれでも衝突の瞬間には、ヘルツの弾性衝撃力公式がけっこう成り立つというのが、自分の経験です。 衝突時近傍の超短い時間だけヘルツの式が成り立ち、衝突直後の非常に短い時間だけ砂層は塑性変形し、あっと言う間に飛び散ってしまって、ヘルツの式も弾塑性構成則も使えなくなるというのが、自分の印象です。ですがその際の最大衝撃力は、ヘルツの式で概ね近似できると思っています（経験的に）。 粘性が卓越する物質では、 ＞衝突先が粘性体の場合、F=c*v なので、粘性係数ｃがわかれば衝突時の力が求められます。 なのですか？。粘性が卓越する物質は扱った事がないので、本当に知りたくてきいています。
- foomufoomu
- ベストアンサー率36% (1018/2761)
落ちた先がどのような性質の物なのかによります。 落下する物体の速度は、検索すればすぐに見つかります。衝突直前の速度をｖとして 衝突先が弾性体の場合、 衝突直前の運動エネルギーは E=1/2*m*v^2 弾性体のばね変形のポテンシャルエネルギー E=1/2*K+x^2 K:ばね係数 により変形量xを求めて、F=K*x により衝突時の力を求めます。 衝突先が粘性体の場合、F=c*v なので、粘性係数ｃがわかれば 衝突時の力が求められます。 衝突先が砂など塑性変形するものであれば、ほとんど衝突速度と無関係に塑性変形に必要な力が衝突時の力になります。
