- 締切済み
四面体の垂心の存在証明がわかりません
直辺四面体の垂心が存在する⇔AB⊥CD、 AC⊥BD、 AD⊥BC を証明するのですが、どう証明すればいいのか分かりません。おしえてください。
- KIMURATAKASHI
- お礼率0% (0/2)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数0
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
関連するQ&A
- 幾何の証明問題です。回答の程宜しくお願い致します。
次の証明問題についてなんですが．．． 直辺四面体の対辺の共通垂線は垂心を通ることを証明せよ。 できるだけわかりやすく証明方法を教えてくださいm(_ _)m ちなみに直辺四面体の定義は 四面体ABCDにおいて，AB⊥CD，BC⊥AD，AC⊥BDが成り立つこと です。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 垂心を用いた問題についてアドバイスお願いします。
垂心を用いた問題についてアドバイスお願いします。 証明自体は長くないのですが、等式がなぜ成り立つのかがわかりません。 【問題】 △ABCの垂心をHとすると、AH^2+BC^2=BH^2+CA^2=CH^2+AB^2であることを証明せよ。 一通り考え、解答を見ました。 AH，BCの交点をDとすると、 AB^2-AC^2=BD^2-CD^2=BH^2-AB^2…(1) ∴BH^2+CA^2=AB^2 他も同様に証明できる。 (1)の等式は何を表しているんでしょうか？ AB^2-AC^2は△ABCの隣り合う二つの辺の差の二乗だと推測しましたが、それ以上進展せず袋小路に陥ってしまいました。 もしお時間がいただけましたらご教示下さい。 よろしくお願いします:) 補足)一応写真も撮りましたが、見辛いと思います。
- 締切済み
- 数学・算数
- 辺の長さが等しいことの証明
三角形の合同条件が導けないので質問します。 問題は、「角Aが直角の直角二等辺三角形ABCの頂点Aを通って、BCに平行にひいた直線上にDをBD=BCにとり、BDと辺ACの交点をEとすれば、CD＝CEである。」ことを証明する です。 本では3通りの解法を紹介しているのですが、そのうち1つがわかりません。著者の考え方は、もしCD＝CEならば△CDEと△BCDは一つの底角Dを共有する2等辺三角形であるから、相似のはずである。したがって∠DBC=∠ACDとなるはずである。そこで∠ACDの移動を考え、DからACに平行線をひきBCとの交点をKとすると、∠CDK=∠ACD=∠DBC,よってDK^2=BK*CK、すなわちAC^2=BK*CKはずである。これはAB=ACから、 BK*CK=AK^2-AB^2=BD^2-AB^2=BC^2-AB^2=AC^2のように証明できる。と書いてあります。 自分がわからないのは、AK^2-AB^2=BD^2-AB^2の箇所です。AK=BDをいうために△ADK≡△DABを、2辺とその挟む角で証明しようとしましたがうまくいきませんでした。ADは共通、DからACに平行線をひいたので、平行四辺形ができAB=AC=DKよりAB=DK、しかし∠ADK≡∠DABが導けませんでした。 どなたか、AK=BDの証明を教えてください。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 本気で分からない外心と垂心
[1] 外心と垂心が一致する三角形ABCは正三角形であることを証明せよ。 自分でやってみたんですが、証明をする上で、どこが間違ってるのか（全部間違えてそうだけど・・） どうやって証明していけばいいのか、外心と垂心の問題を解く上でのコツとかを教えて欲しいです。 以下、私の答えです。 △ABCの外心をOとすると 点Oから各辺への垂直二等分線をそれぞれL,M,Nとする。 AL=BL,BM=MC,CN=NA,OL=OM=ON OL⊥ABで点N,Mは辺BC,CAの中点なのでMN//ABより OL⊥MN OM⊥BCで点N,Mは辺AB,CAの中点なのでLN//BCより OM⊥LN ON⊥ACで点N,Mは辺AB,BCの中点なのでON//ACより ON⊥LM 以上より点Oは△ABCの垂心でもある。 よって△ABCは正三角形である。 教科書の答えが全然違ったんですが、どうしてこれではだめなんでしょうか？ [2] 鋭角三角形ABCの垂心をH、外心をOとし、Oから辺BCにおろした垂線をOMとする。 また、△ABCの外接円の周上に点Kをとり、線分CKが円の直径になるようにする。 このとき、次のことを証明せよ。 (1)BK=2OM (2)四角形AKBHは平行四辺形である。 (3)AH=2OM どれも難しくて分かりません。。 易しく教えてください。 おねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角形の３辺の長さの性質の証明
定理１、２辺の長さの和は、他の一辺の長さより大きい 定理２、２辺の長さの差は、他の一辺の長さより小さい を証明する問題で、 １の証明 △ＡＢＣにおいて辺ＢＡのＡを越える延長上にＡＤ＝ＡＣであるような点Ｄをとると、ＢＤ＝ＡＢ+ＡＣ…(1) また△ＡＣＤは、∠Ａを頂点とする二等辺三角形であるから ∠ＡＣＤ＝∠ＡＤＣ △ＢＣＤにおいて、線分ＡＣは∠ＢＣＤの内部にあるから ∠ＢＣＤ ＞ ∠ＡＤＣ すなわち∠ＢＣＤ ＞ ∠ＡＤＣ＝∠ＢＤＣ ゆえに、定理２より ＢＤ＞ＢＣ・・・(2) (1)、２から ＡＢ+ＡＣ＞ＢＣ 同様にしてＢＣ+ＢＡ＞ＣＡ，ＣＡ+ＣＢ＞ＡＢ (終) 定理１の証明はできたんですが定理２の証明がどうしてもわからないのでどなたか教えてください。 定理１を使って証明したいです。お願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 証明
AD//BCである台形ABCDにおいて、対角線ACとBDの交点Pとする。また、点Pを通り、辺BCに平行な直線lを引き、辺AB、CDとの交点をそれぞれE,Fとする。 このとき、(1/AD)＋(1/BC)＝(2/EF)を証明する問題で。 A-----------D ／ ＼ ／ ＼ ／ ＼ ／ ＼ B-------------------------C どのように考えるか分からないのでこの書き込みは消されてしまうかもしれませんが、よろしくお願いします。 この問題をまず解くには ・AE:EB＝AD:BC ・DF:FC=AD:BC を考えるそうですがこの比の作り方（考え方がよくわかりません。） まとめると、 Pはこの図の中心点。 点Pを通るよく線はl ABとDCで交わった直線lをE,Fと置く。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 証明を教えてください！
図の△ＡＢＣは、ＡＢ＝ＡＣの直角二等辺三角形である。辺ＢＣ上に点Ｄをとり図のように、ＡＤ＝ＡＥとなる直角二等辺三角形ＡＤＥをつくり、ＤＥとＡＣとの交点をＦとする。 このとき「ＢＤ＝ＣＥ」であることを証明しなさい。 という問題です。教えてください！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 二等分線であることの証明
△ABCの辺BC上の点Pについて、BP:PC=AB:ACが成り立つならばAPは∠Aの二等分線である。・・・(*) 四角形ABCDの2つの内角∠A、∠Cの二等分線の交点が、対角線BD上にあるならば、2つの内角∠B、∠Dの二等分線の交点も、対角線AC上にあることを、(*)を使って証明せよ。 (解答) ∠A、∠Cの二等分線の交点をE、∠Bの二等分線とACの交点をFとする。AE、CEはそれぞれ∠A、∠Cの二等分線であるから、△ABDにおいて BE:ED=AB:AD △BCDにおいてBE:ED=BC:CD よってAB:AD=BC:CDから AB・CD=AD・BC これから 【AB:BC=AD:CD】・・・(1) BFは∠Bの二等分線であるから、△ABCにおいて AF:CF=AB:BC・・・(2) (1)、(2)から AF:CF=AD:CD したがって、(*)からFDは∠Dの二等分線である。ゆえに、題意は示された。 質問は、【 】でくくった部分です。 なぜ、そのような式ができたのか理由を教えてください。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
補足
ベクトルは使わない方向でお願い致します。。。。。