本気で分からない外心と垂心
[1]
外心と垂心が一致する三角形ABCは正三角形であることを証明せよ。
自分でやってみたんですが、証明をする上で、どこが間違ってるのか（全部間違えてそうだけど・・）
どうやって証明していけばいいのか、外心と垂心の問題を解く上でのコツとかを教えて欲しいです。
以下、私の答えです。
△ABCの外心をOとすると
点Oから各辺への垂直二等分線をそれぞれL,M,Nとする。
AL=BL,BM=MC,CN=NA,OL=OM=ON
OL⊥ABで点N,Mは辺BC,CAの中点なのでMN//ABより
OL⊥MN
OM⊥BCで点N,Mは辺AB,CAの中点なのでLN//BCより
OM⊥LN
ON⊥ACで点N,Mは辺AB,BCの中点なのでON//ACより
ON⊥LM
以上より点Oは△ABCの垂心でもある。
よって△ABCは正三角形である。
教科書の答えが全然違ったんですが、どうしてこれではだめなんでしょうか？
[2]
鋭角三角形ABCの垂心をH、外心をOとし、Oから辺BCにおろした垂線をOMとする。
また、△ABCの外接円の周上に点Kをとり、線分CKが円の直径になるようにする。
このとき、次のことを証明せよ。
(1)BK=2OM
(2)四角形AKBHは平行四辺形である。
(3)AH=2OM
どれも難しくて分かりません。。
易しく教えてください。
おねがいします。
補足
ベクトルは使わない方向でお願い致します。。。。。