定積分が…

質問

g(x)=x|cosx|で、k,nが負ではない整数とした時に、
∫[0～2nπ]g(x)dx　と　
∫[0～(2n+1)π]g(x)dx　が解けません。
答えはそれぞれ、4n^2*π、(2n+1)^2*πです。
∫[2Kπ～(2k+1)π]g(x)dx=(4k+1)π　を使うらしいのですが…。
お願いします。

回答No.1

tomtak · ベストアンサー

まず、∫[2kπ～(2k+1)π]g(x)dx=(4k+1)π　を示します。

x = 2kπ + θ　とおくと、
cosx = cosθより、
∫[2kπ～(2k+1)π]g(x)dx
　=　∫[0～π](2kπ + θ)|cosθ|dθ
　=　(2kπ)∫[0～π]|cosθ|dθ　+ ∫[0～π]θ|cosθ|dθ

第一項の、∫[0～π]|cosθ|dθ　の部分は、

∫[0～π]|cosθ|dθ
　=　∫[0～π/2]cosθdθ-∫[π/2～π]cosθdθ
　=　∫[0～π/2]cosθdθ+∫[-π/2～0]cosθdθ （←２項目はθ-πを新たにθと置いてcos(θ-π)=-cosθを使いました。）
　=　∫[-π/2～π/2]cosθdθ
　=　sin(π/2)-sin(-π/2)
　=　2

また、第二項の、∫[0～π]θ|cosθ|dθ　の部分は、

∫[0～π]|cosθ|dθ
　=　∫[0～π/2]θcosθdθ-∫[π/2～π]θcosθdθ
　=　∫[0～π/2]θcosθdθ+∫[-π/2～0](θ+π)cosθdθ （←２項目はθ-πを新たにθと置いてcos(θ-π)=-cosθを使いました。）
　=　∫[-π/2～π/2]θcosθdθ+π∫[-π/2～0]cosθdθ
　=　π∫[-π/2～0]cosθdθ
　=　π

よって、
∫[2kπ～(2k+1)π]g(x)dx
　=　2kπ*2 + π
　=　(4k+1)π
が示されました。

この結果を用いると、
∫[0～2nπ]g(x)dx
　=　Σ∫[2kπ～(2k+1)π]g(x)dx　+　Σ∫[(2k+1)π～(2k+2)π]g(x)dx　(Σは、k=0～n-1まで和を取ります)

第一項は、
　　Σ(4k+1)π
第二項の積分は、
∫[(2k+1)π～(2k+2)π]g(x)dx　
　=　∫[2kπ～(2k+1)π]g(x+π)dx　(←x-πを新たにxとおきなおしました)
　=　∫[2kπ～(2k+1)π]g(x)dx+π∫[2kπ～(2k+1)π]|cosx|dx　　
　=　(4k+1)π+π∫[0～π]|cosθ|dθ
　=　(4k+1)π+2π
　=　(4k+3)π

よって
∫[0～2nπ]g(x)dx
　=　Σ(4k+1)π　+　Σ(4k+3)π
　=　Σ(8k+4)π
　=　8π*{n*(n-1)/2}+4π(n)
　=　4n^2*π

また、
∫[0～(2n+1)π]g(x)dx　
　=　∫[0～2nπ]g(x)dx　＋　∫[2nπ～(2n+1)π]g(x)dx
　=　4n^2*π　+　(4n+1)π
　=　(2n+1)^2*π

となります。

お礼

やっと理解できました。
詳しく説明していただいて、ありがとうございます。