高校数学の反射の問題です 3-4

質問

光を反射する壁AOBがある　図のように点P[0]から角αで出た光が点P[1],P[2],P[3]....において次々に反射し,点

P[n]において壁に垂直に入射したとする　光が進んだ距離d=P[0]P[1]+P[1]P[2]+P[2]P[3]+.....+P[n-1]P[n]をOP[0]と角αとを用いて

表せ　ただし、∠P[0]P[1]O>π/2とする

解説はP[1]～P[n]折れ線をOBに関して折り返すと右図の破線の折れ線のようになり、3点P[0],P[1],P[2']は一直線上にある、次に破線P[2']～P[n]を図のOCに関して折り返すと、はじめのP[0]～P[3]の4点からなる折れ線がまっすぐになる　

同様な操作を繰り返すと、はじめのP[0]～P[n]の折れ線は図の線分P[0]Hとなる　したがってd=P[0]P[1]+.....+P[n-1]H=OP[0]cosαとあるのですが

P[1]～P[n]折れ線をOBに関して折り返すと右図の破線の折れ線のようになり、3点P[0],P[1],P[2']は一直線上にあるの所なのですが、3点P[0],P[1],P[2']は一直線上にあるか分からないのではないですか？

P[2']はOBに関してP[2]を対称移動させた点なのでP[0]P[1]P[2']は折れ線みたいになるかもしれないじゃないですか？何で直線になるんですか？　

P[3],P[4]...をOBに関して対称移動した点P[3'],P[4']とかは全て直線OC上にあるようですが、これも折れ線みたいになるかもしれないんじゃないですか？

直線状に綺麗に乗っているというのが納得できないです

回答No.7

gohtraw · ベストアンサー

証明してみせないとダメか？下手に書くと余計混乱させそうで怖いのだが。

直線ＯＢをｘｙ平面のｘ軸上におく。このとき点Ｂは点Ｏよりも右側にあると
する（つまり点Ｂのｘ座標＞点Ｏのｘ座標）
また、点Ｐ（ｎ）を原点（０，０）におく。

このｘｙ平面上に点Ｐ（ｎ-1）とＰ’（ｎ＋１）をおく。どこでもいいのだが
点Ｐ（ｎ－１）を第一象限（ｘ、ｙともに正である領域）におき、その座標を
（ｐ、ｑ）とする。また、
∠Ｐ（ｎ－１）Ｐ（ｎ）ＢをΘとする。
このとき、ｔａｎΘ＝ｑ／ｐ　である。

点Ｐ（ｎ－１）を第一象限においた場合、点Ｐ’（n+1)は第三象限にある。
その座標を（ｒ、ｓ）とする。
∠Ｐ’（ｎ＋１）Ｐ（ｎ）ＯはΘに等しいので、
ｔａｎΘ＝ｓ／ｒ　である。

以上より、ｑ／ｐ＝ｓ／ｒであるから、ｓ／ｑ＝ｒ／ｐである。
ｓ／ｑ＝ｒ／ｐ＝α　とおくと、点Ｐ’（n+1)の座標は
（ｒ、ｓ）＝（αｐ、αｑ）
と表すことが出来る。Ｐ（ｎ－１）とＰ’（ｎ＋１）は同一の点ではないので
αは１ではない。

ここでＰ（ｎ－１）とＰ’（ｎ＋１）を通す直線を考える。この直線は
（ｙ－αｑ）／（ｘ－αｐ）＝（αｑ－ｑ）／（αｐ－ｐ）
ｐ(αー１）（ｙ－αｑ）＝ｑ（αー１）（ｘ－αｐ）
ｐ（ｙ－αｑ）＝ｑ（ｘ－αｐ）
ｐｙ＝ｑｘ
となり、原点、つまりＰ（ｎ）を通る。

以上より、
∠Ｐ（ｎ－１）Ｐ（ｎ)Ｂ＝∠Ｐ’（ｎ＋１）Ｐ（ｎ）Ｏ
を満たすときＰ（ｎ－１）、Ｐ（ｎ）、ｐ’（ｎ＋１）の三点は直線上にある。

お礼

御返答有難うございます

補足

>∠Ｐ（ｎ－１）Ｐ（ｎ）ＢをΘとする。
>このとき、ｔａｎΘ＝ｑ／ｐ　である。
ｔａｎΘ＝ｑ／ｐこれがまず分からないです、-q/pじゃないですか？

>点Ｐ（ｎ－１）を第一象限においた場合、点Ｐ’（n+1)は第
>三象限にある。
これも何で第3象限になるんですか？

とりあえずこの2つが分からないと後の所も分からないと思うので、解説の方よろしくお願いします

回答No.21

gohtraw

＞勿論こちらもその図は直線に見えますよ、
＞直線上に無い場合を前提としない場合は折れ曲がったような図になりますが

どっちが本当なんだ？

＞、∠○＝∠△だから直線上にあるみたいな感じの証明

それをやって見せたのだが？

もう補足はいいよ。私もあなたの質問には答えないから。
この徒労感には耐えられないのでね。

お礼

御返答有難うございます

補足

>どっちが本当なんだ？
解説の図はまっすぐ書いてるからまっすぐ見えますよ

こちらが疑問なのは自分で描いた時に角度が同じになりますが、それがまっすぐなのか疑問なんです

>私もあなたの質問には答えないから。
待ってくださいよ、せっかく角度が同じという所まできているのに、後少しじゃないですか、角度が同じという事は位置的に対頂角だと思いますが、これは2直線が交わって出来ているという事ですよね？暇な時でいいのでお願いします

回答No.20

Tacosan

もういっそのこと対偶を考えた方が速いんじゃないかと思ったりした.

お礼

御返答有難うございます

補足

詳しくお願いします!!

回答No.19

gohtraw

対頂角という言葉の使い方がおかしい。
対称角というのは二直線が交わっているときに使う言葉なので、
P(n-1)とP(n)とP'(n+1)が直線上にあるという前提を置かないで
いる状態で「対頂角」を持ちだしてはいけない。

言い換えると、三点が直線上にあるということが証明されるまでは
「対頂角」といってはいけないということ。

その証明は以前私が書いた通り（他にもやり方はあるかもしれない）。

ただこの問題では、そこまで求めてはいなくて、
∠Ｐ（ｎ－１）Ｐ（ｎ)Ｂ＝∠Ｐ’（ｎ＋１）Ｐ（ｎ）Ｏ
だから三点が直線上にあるといって構わない。わざわざ証明はしなくても
ほぼ自明としていいということだ。

その自明を納得させるために
（１）三点が直線上にあるという前提がない場合
（２）上記の前提をおいて二本の直線を描いた場合
の二つの図を描かせて、それらが同じであることを気づかせようとして
「同じだろ」と言い続けてきた。自己弁護をするのは格好わるいと思うが、
私は（１）の作図において、あるいは（１）から出発して三点が直線上にある
事を証明する過程において「対頂角」という言葉は使っていない。

で、いまだに全く理解できないのだがどこが「折れ曲がったような図に」なるの
だろうか？初めの質問で貼ってある図は一見して「一直線上」と
思える図に見えるのだが？

お礼

御返答有難うございます

補足

>三点が直線上にある
>事を証明する過程において「対頂角」という言葉は使っていな>い。
勿論その証明方法は何回も読んで対頂角という言葉を使っていないのは分かっているんですが、何か納得できないんですよね、他には無いですか、証明方法

>初めの質問で貼ってある図は一見して「一直線上」と
思える図に見えるのだが？

勿論こちらもその図は直線に見えますよ、でも証明がなんとなく納得できないんですよね、∠○＝∠△だから直線上にあるみたいな感じの証明は無理ですか？

回答No.18

gohtraw

いかん。間違えた。No１７の４行目。

「OB上の真ん中辺りにあるP(n+1)に当たる」

これはOA上だね。

まさかとは思いつつ、ひょっとしてとも思うのだが、私の書き込み中で
P'（ｎ＋１）やＰ’（ｎ＋１）などの「'」や「’」を見落としてるなんていう、
洒落にならないオチはないよね？

お礼

御返答有難うございます

補足

はい、それはないです

回答No.17

gohtraw

上の図だよね？
この図でいうとOA上の左端近くにP(n-1)があって、そこから出た
光が右上方に進んでOB上のP(n)に達し、そこで反射して右下方
に進み、OB上の真ん中辺りにあるP(n+1)に当たる。

そしてP(n+1)をOBに対して対称な位置に移動したものがOCの
真ん中あたりにあるP'(n+1)である。

ということね。要は１８０°ぐるっと回転させただけで、私が描いた
のと（見にくくて済まんね）同じ図だよね？

そしてこの図上で
∠P(n-1)P(n)B＝∠P(n+1)P(n)O＝Θ
かつ
∠P’(n+1)P(n)O＝∠P(n+1)P(n)O＝Θ
だから
∠P(n-1)P(n)B＝∠P’(n+1)P(n)O＝Θ
ということだよね？

これでP(n-1)とP(n)とP’(n+1)が直線上にあるということが判らない
というのが理解できないのだが（説明はいままで散々した通り）。

この図は、単に直線OBに対してΘの角度をなすような直線
P(n-1)P’(n+1)を引いて、その交点をP(n)としたのと同じ図に
なることは明白だと思うのだが？

今までした説明も合わせて、これでも判らないなら、もう私には
説明のしようがないよ。

お礼

御返答有難うございます

補足

>ということだよね？
そこまでは分かるんです、その等しい理由が対頂角だからですよね？と確認をお願いしているのです

回答No.16

gohtraw

いかん。ずれた。

　　　　　　・　P(n+1)　　　　　　　　　　　　　・　P(n-1)

O 　　　　　　　　　　　　　　P(n) 　　　　　　　　　　　　B
・--------------------・-----------------・

　　　　　　・　P'(n+1)

こんな感じ。

お礼

御返答有難うございます

補足

はい、自分が補足で書いたのはBがOの左側にあるばあいですね、最初に貼り付けた画像の図で説明をお願いしてもいいですか？

回答No.15

gohtraw

直線OBが左右にあり、Oが左端、Bが右端、OB上でOとBの
間にP(n)があります。

O P(n) B
+--------------------+-----------------+

そしてP(n)の右上方にP(n-1)があります。
∠P(n-1)P(n)BをΘとします。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・　P(n-1)

O P(n) B
・--------------------・-----------------・

P(n-1)から出た光がP(n)に当たって反射し、P(n)から
左上方に進んでP(n+1)に達します。反射の法則から
∠P(n-1)P(n)B＝∠P(n+1)P(n)O＝Θ　です。

　　　　　　・　P(n+1)　　　　　　　　　　　　　・　P(n-1)

O P(n) B
・--------------------・-----------------・

ここで、直線OBに対してP(n+1)と対称の位置にある
点P'(n+1)を考えると、P'(n+1)はP(n)の左下方にあり、
∠P'(n+1)P(n)O＝∠P(n+1)P(n)O＝Θ　です。

　　　　　　・　P(n+1)　　　　　　　　　　　　　・　P(n-1)

O P(n) B
・--------------------・-----------------・

　　　　　　・　P'(n+1)

以上のことより、
∠P(n-1)P(n)B＝∠P’(n+1)P(n)O＝Θ

こんな感じなのだが？

お礼

御返答有難うございます

補足

うーん、この図は分かりにくいのですが、この前の補足に書いた感じの図と間違っていますか？

回答No.14

gohtraw

筆跡だけで特定できるのかとも思うが、心配だったら
文字だけは印刷して貼り付けるなり、グラフソフトを使うなり
するしかなかろう？
　3dgrapeは名前だけは聞いたことがあるが使い方は
知らない。そんな大げさなもの使うような図とも思えんが。
たかだか数本の直線だろ？まあそれが描けていないから
苦労している（のではないかと思っている）のだが。
　画像が無理なら言葉で説明できないの？

直線OBが左右にあり、Oが左端、Bが右端、OB上でOとBの
間にP(n)があります。

みたいにさ。

お礼

御返答有難うございます

補足

>直線OBが左右にあり、Oが左端、Bが右端、OB上でOとBの
>間にP(n)があります。
分かりました、では、それで説明してみます

最初に貼り付けた画像の中の点で説明したほうが早いので
最初の1枚目の画像の

P[0]の位置にP[n-1],P[1]の位置にP[n],P[2]の位置にP[n+1]P'[2]の位置にP'[n+1]があるような図です

回答No.13

gohtraw

ちょっと待った。Ｎｏ１０への補足で

＞その上で∠P[n-1]P[n]O=∠P[n+1]P[n]O=∠P'[n+1]P[n]O

とあるが、違うだろ。そもそも私がＮｏ１で書いたのは
∠Ｐ（ｎ－１）Ｐ（ｎ)Ｂ＝∠Ｐ（ｎ＋１）Ｐ（ｎ）Ｏ
であり、
∠Ｐ（ｎ－１）Ｐ（ｎ)Ｂ＝∠Ｐ’（ｎ＋１）Ｐ（ｎ）Ｏ
だぞ？

回答No.12

gohtraw

＞対頂角で等しいということは直線OBと直線P[n-1]P'[n+1]が交わるって事ですか？
じゃあなぜわざわざ「交わるって事ですか？」などと書く必要があるのかな？

＞∠P[n+1]P[n]O=∠P'[n+1]P[n]Oだから∠P[n-1]P[n]O=∠P'[n+1]P[n]Oですよね、
＞そして、この関係が成り立つのが対頂角だからですよね？
書き間違いなのかも知れないが。

一体どういう図ができているんだ？

お礼

御返答有難うございます

補足

>じゃあなぜわざわざ「交わるって事ですか？」などと書く必要>があるのかな？

確認してもらいたかったから書きました、交わらないなんて書いてないですよ

>一体どういう図ができているんだ？
手書きで書いても大丈夫ですか？何だか筆跡とかで特定されたりとか大丈夫ですかね,字が汚いのでグラフソフトで書きたいのですが、やり方分かりますか、ソフトは3dgrapesってのがあります