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高校数学の整式の問題です
f(x)=ax^3+bx^2+cx+dは有理数を係数とする多項式であって,任意の整数nに対しf(n)はつねに整数になるとする このとき,ｆ（ｘ）の係数の6倍は整数であることを証明せよ 解説ではf(n)が常に整数であるための条件はf(0)が整数でf(n+1)-f(n)はつねに整数であることと同値とあるのですが、何故これが同値なのか分かりません
- arutemawepon
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- asuncion
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まあ別に1から始めてもいいと思います。 基準となるf(n)が整数で、その隣である f(n+1)との差が常に整数であれば、 f(n+1)は整数。後はドミノ倒し。
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0からやってるのは何か理由があるような気がします、nは整数だけしか条件が無いですが整数には負の値もありますね、何で0からなのですか、何だかこの辺りがスッキリしないです >f(n)が整数で、その隣である >f(n+1)との差が常に整数であれば、 >f(n+1)は整数 これは整数の和や差は整数ということですが、仮にf(n)は整数でもf(n+1)が整数じゃない場合でも和や差で整数になることは無いのですか？
- asuncion
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数学的帰納法の考え方を使っているのではないでしょうか。 基本となるf(0)が整数で、隣同士の差である f(n+1) - f(n)が整数であれば、 f(n)全体は整数である、ということだと思います。
お礼
御返答有難うございます
補足
>隣同士の差である >f(n+1) - f(n)が整数であれば、 >f(n)全体は整数である、ということだと思います。 数学的帰納法だとf(n)が整数だと仮定してf(n+1)が整数だったらf(n)は整数って流れですよね？これと引き算したのが何で同値なのですか？後f(1)から始まるんじゃないんですか？０からでもいいんですか？
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