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なぜアキレスと亀は不思議でないのか?
中村 拓男(@tknakamuri)の回答
- 中村 拓男(@tknakamuri)
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一応ちゃんと式を立てておきます。 亀のアキレスの現在位置を x0, y0 (x0 > y0) で亀とアキレスの速度を v と V とします。(v < V) また現在時刻を t0 とします。 さて、アキレスは亀に (x0-y0)/(V-v) 秒後に追いつくから 追いつく時刻 tt は tt = t0 + (x0-y0)/(V-v) 追いぬく地点は xx = x0 + (x0-y0)v/(V-v) それ以降はアキレスが亀の前に出るわけですが、 ゼノンの理屈で、x0位置にアキレスがたどり着く時刻 t1 は t1 = (x0-y0)/V + t0 その時のアキレスの位置 y1 = x0 その時の亀の位置 x1 = x0 + (x0-y0)v/V もういちどこの理屈を繰り返すと y2 = x0 + (x0-y0)(v/V) x2 = x0 + (x0-y0)(v/V) + (x0-y0)(v/V)^2 t2 = t0 + (x0-y0)/V + (x0-y0)v/V^2 というわけで、n回繰り返すと xn = x0 + Σ[n=1~n](x0-y0)(v/V)^n tn = t0 + Σ[n=1~n](x0-y0)(1/v)(v/V)^n とすると tn は n⇒∞の時、2項目以降は等比数列なので t0 + (x0-y0)/(V-v) に収束し、 tn は単調増加だから t0 + (x0-y0)/(V-v) > tn xn は n⇒∞の時 x0 + (x0-y0)v/(V-v) に収束し、xn は単調増加だから x0 + (x0-y0)v/(V-v) > xn つまり n をどんなに大きくしても アキレスが追いつく時刻 t0 + (x0-y0)/(V-v) より、tnが大きくなることはありませんし、xn が追いつく地点より大きくなることもありません。 つまり、ゼノンの論理は、アキレスが亀に追いつく時刻以前ではアキレスは亀を追い抜かないことを 表しています。 ゼノンの論理にはこれ以上のことには含まれていません。 以上。
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補足
ありがとうございます。 そのとおりですね。いろいろな方の意見をいただいて、自分の頭ではいろいろとさらに考えていて、それをひとまず、#15の方への補足に考えをまとめさせていただいたのでごらんいただければ幸いです。 わたしは、おっしゃるとおりであればこそ、どうやってゼノンの論理を超えて、そのあと一歩踏み出すことができるのかがわからない、それこそがパラドックスの根幹だと感じています。