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なぜアキレスと亀は不思議でないのか？
stomachmanの回答
- stomachman
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ANo.12へのコメント、および示唆された他の回答へのコメントについてです。 コメントの中で > 私にはその一歩を踏み出す言葉がない と仰っている。その点について追記しておきます。 ANo.12でプログラムの話をしました。「アキレスと亀」の話は、アキレスが最初に居た地点を0、亀が最初に居た地点をT、アキレスの速さをV、亀の速さをv、とすれば、アキレスの位置aを 0: a[0] = 0, a[1]=T P: a[n] = a[n-1]+(v/V)(a[n-1]-a[n-2]) という漸化式を使って計算していることになります。この2行目の式はn=2,3,…について繰り返し計算するんです。 アキレスが亀に追いつく地点をxとすると、繰り返しの中では常に「a[n]はxより小さい」というinductive assertionが成立っています。そして、このループは終わりません。これが A: このプロセスPを幾ら繰り返してもアキレスは地点xには到達できない。 ということです。そして、上記の漸化式はxを計算するプロセスになっています。 ただ、この問題の場合には、xを有限回の四則演算で x = TV/(V-v) と表すこともでき、だから、漸化式を使わなくたってxは計算できる。ですが、敢えて漸化式を使っても良いでしょ？ そうは言っても、さて、「終わらない繰り返し」を使うってどういうことか。 ～～～～～～ 一方、漸化式 s[0] = 1 s[n] = s[n-1] + 1/n! を考えます。このループも終わりません。ですから「アキレスと亀」の漸化式と状況は同じです。（ご質問の話が無限級数だけで片づくと主張する人なら「その漸化式の極限は、自然対数の底であるeだと分かってるじゃないか！」とあざ笑うのでなくては、態度が首尾一貫しているとは言えませんね。けれども、「だーから、eの数値は実際幾らなの？」という話をしているんですから、「それはeだ」ほど間抜けな答もないってもんです。） さらにこの場合には、（eは超越数なので）eの値を有限回の四則演算で計算する方法は存在しない。すなわち、「終わらない繰り返し」を使うしか計算方法がないんです。eの値の計算に限らず、一般に、有限回の四則演算では表せないような数値の計算（たとえば平方根も三角関数も）は結局の所、このような漸化式、すなわち「終わらない繰り返し」を使って計算されます。だから、ちっとも珍しい話ではありません。 さて、「終わらない繰り返し」を使うってどういうことか。 それには、「ある程度の精度が得られたら、そこで繰り返しを打ち切る」ということをやるんです。有限回で打ち切って、次のプロセスに進む。単にそれだけです。 アキレスと亀の漸化式でも、たとえば「アキレスのつま先が亀の頭より後れること10cm以内に到達したら、そこで繰り返しを打ち切る」ということをやれば、有限回で打ち切れる。かくて、アキレスはPの反復という呪縛から逃れて、次のプロセスに進む事ができます。そのプロセスとは、もちろん、 Q : そこで、アキレスはさらに一歩を踏み出す。 ということですね。a[N]で打ち切ったとすると、これで Q : アキレスの位置 = a[N]+(アキレスの歩幅) > x になった。追い越し完了です。 という訳で、 > 私にはその一歩を踏み出す言葉がない と仰っているけれども、いやいや、まさしくそのひと言、「一歩を踏み出す」で十分なんです。
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