連立微分方程式の初期値問題について

質問

連立微分方程式の初期値問題についての質問です

y1' = -18y1 -30y2
y2' = 10y1 + 17y2

y1(0) = 10
y2(0) = -6

の解の求め方を教えてください

よろしくお願いします

回答No.3

info222_ · ベストアンサー

y1' = -18y1 -30y2　…(1)
y2' = 10y1 + 17y2 …(2)

y1(0) = 10 …(3)
y2(0) = -6 …(4)

>解の求め方を教えてください

(1)の両辺を微分した式に、(1)のy2と(2)のy2'を代入して
y1の同次二階線形微分方程式を導出して
解く。
　y1”=6y1-y1’
　y1(t)=6e^(2t) +4e^(-3t)

次に、求めた結果の y1 と y1' を(1)に代入して
y2(t)を求める。
　y2(t)=-4e^(2t) -2e^(-3t)

ただ、これだけです。

お礼

ありがとうございますm(_ _)m

回答No.2

spring135

添え字をなくすために

y1=y

y2=z

で置き換えます。主変数が示されていないので解も何もあったものではないのですが、一応tとします。

つまり

y1'=y'=dy/dt, y2'=z'=dz/dt

です。

元の式は

y'=-18y-30z (1)

z'=10y+17z (2)

y(0)=10 (3)

z(0)=-6 (4)

(2)より

y=(z'-17z)/10 ゆえに　y'=(z''-17z')/10, これらを(1)に代入して整理すると

z''+z'+15z=0

特性方程式

p^2+p+15=0

の解は

p=(-1+i√59)/2=α, p=(-1-i√59)/2=β (5)

よって

z=aexp(αt)+bexp(βt)　　(6)

(4)より

z(0)=a+b=-6 (7)

(2)より

y=(z'-17z)/10

(6)を代入して整理すると

y=[a(α-17)exp(αt)+b(β-17)exp(βt)]/10

(3)より

y(0)=[a(α-17)+b(β-17)]/10=10　　(8)

(5)、(7)，(8)よりa,bを計算できる。

回答No.1

Tacosan

一般解を求めて初期値から積分定数を決める.