大学初等物理の問題：物体の運動とエネルギー保存
- 大学初等物理の問題で、質量mの物体が円軌道面の内側を滑りながら運動している。物体の運動方程式やエネルギー保存の式を求める。
- 問題では、物体の位置Pの運動や速度v、エネルギー保存の式の導出、垂直抗力Nの表式を求める。
- また、十分小さい速さv0での物体のB点への到達からA点への戻りまでの角度θの変化や、運動を回転する座標系で観測した場合の運動方程式についても考える。
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大学初等物理の問題です
点Aを右向きに速さv0で通過した質量mの小物体がA点の真上にあるO点を中心とする半径Rの円軌道面の内側を重力mg(鉛直下向き)と 垂直抗力Nの影響を受けながら滑っている。 A点を通過してからある時間t経過したときの物体の位置をPとし、この瞬間にベクトル、OPベクトルとOAベクトルとなす角をθとする。 軌道面と小物体の間の摩擦、空気抵抗、小物体の大きさは無視できるものとし、以下の問いに答えよ。 (1)P点における物体の運動を制止座標系でみたとき、法線方向および接線方向の運動方程式を、θの時間tに対する一次微分または二次微分を含む式で示せ。 (2)P点における物体の速さ(接線速度)をvとし、A点とP点の間で成り立つエネルギー保存の式を書け (3)P点において物体に働く垂直抗力Nをθ、v0などを用いて表せ。 但しθの時間微分を式に含んではならない (４)速さv0が十分小さい時、物体がB点(θ=θmax)に達したのちA点まで戻ってきた。AB間の距離が十分小さくsinθ≒θが成り立つとして接線方向の運動方程式の力の項を近似し、時刻t=0でA点を通過してからB点に達し再びA点に戻って来るまでの角度θの変化をtの関数として求めよ (5)上問(4)で求めたA点を通過してから再びA点に戻って来るまでのθとtの関係を、tを横軸にとって図示せよ。なお、再びθ=0になるときの横軸の価を、問題文に与えられた物理定数を用いて図中に示すこと。 (6)P点における物体の運動を、物体と一緒に回転する座標系で観測すると、物体は静止しているようにみえる。このとき、運動方程式はどのようになるか、式で示せ。但し、左辺を「質量」「回転座標系でみた加速度」、右辺を「真の力」×「みかけの力」とすること
- koaradayo111
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- 物理学
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間違っているかもしれないことをご了承ください。また、時間微分を'で表します （１） 角度θの時の点Ａからの弧の長さをxとする。 運動方程式は 法線方向：mR"=N-mgcosθ 接線方向：mx"=mgsinθ x＝Rθより、 接線方向：mRθ"=mgsinθ （２） 点Ａでの力学的エネルギーEaは Ea＝運動エネルギー＋ポテンシャルエネルギー ＝m(v0^2)/2＋0 点Pでは Ep＝mv^2/2＋mg(R-Rcosθ) ：カッコ内は図を書くとわかりやすい Ea=Epより…省略 （３） 力のつり合いから N＝mgcosθ （４） （１）の接線方向の運動方程式より θ"＝(g/R)θ θ(t)＝Acos(√(g/R))t＋Bsin(√(g/R))t …(*) 初期条件より、Rθ'(0）＝v0 …(1) (*)の両辺を微分したのち、t＝０を代入すると θ'(0)＝B√(g/R) …(2) (2)を(1)に代入すると B＝v0/√(gR) したがって、θ(t)＝(v0/√(gR))cos(√(g/R))t （５） θ(t)＝０となるのは (√(g/R))t＝(2n+1)π/2 t＝((2n+1)π/2)√(g/R) のときである。従ってグラフは振幅v0/√(g/R)で周期π√(g/R)のコサインカーブとなる。 （６）はわかるそうなので飛ばします。
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- OkawariGU
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No2ですが、訂正です。 (１)でR"と書いていますが、時間依存しないので法線方向の運動方程式の左辺は０としてください。
- Sayakonomimoto
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・本文丸写しで、自分で解こうという意欲が感じられない ・どこが分からないかすら書いていないため、以下略 ・お願いしますの一言も無く、以下略。
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すいません (4)の近似あたりからよくわからなくなりました。 (6)なんかはわかります。 (1)や(2)も一応わかるのですがテスト対策(この問題はテストの過去問のため、答えや解き方がわからない)のため答えを教えていただけると助かります。 礼を逸した質問に気分を害されたのなら申し訳ありません。 ただ私は今困っています。 どうかお力添えをいただけないでしょうか？