高校数学、微分法で分からない問題があります。

質問

添付画像の264です。教えて下さい。
よろしくお願い致します。

回答No.2

NemurinekoNya · ベストアンサー

sin^3(x) + cos^3(x) = (sinx+cosx)(sin^2(x)-sinxcosx+cos^2(x)
= (sinx+cosx)(1-sinxcosx)
とした方が計算が楽ですかね。

t = sinx + cosx
t^2 = sin^2x + cos^2x + 2sinxcosx = 1 + 2sinxcosx
sinxcosx = (t^2-1)/2

それでですが、
t = sinx + cosx　(0≦x<2π)
このとき、
-√2≦t≦√2
であることに注意。

何故かといいますと、
(ax+by)^2 ≦ (a^2+b^2)(x^2+y^2)
というコーシー・シュワルツの不等式を習ったと思いますが、これを使いますと、
(1・sinx+1・cosx)^2 ≦ (1^2+1^2)(sin^2+cos^2x) = 2
となりまして、
これから、出てきます。
───他にも、tの範囲の求め方はありますけれども・・・。たとえば、三角関数の合成公式とか、円と直線の関係から求めるとか・・・───

あとはただの計算問題なので、やってください。

お礼

理解しました。
定義域を設定する作業をよく忘れるので、気をつけたいです
ありがとうございました！

回答No.1

DJ-Potato

どこまで分かってどこから分からないのか書かないと、ここの方々は厳しいですよ。

t = sinx+cosx
t^2 = sin^2 x + 2 sinxcosx + cos^2 x = 1+ 2sinxcosx
t^3 = sin^3 x + 3 sin^2 x cosx + 3 sinx cos^2 x + cos^3 x
= sin^3 + cos^3 + 3sincos(sin+cos)

この辺りから、yをtで表せますか？

お礼

解けました！
薄々そんな気はしていましたが、やはりチンプンカンプンだったとしても、その事を書いておいた方がいいですね。
回答、ありがとうございました！