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n次元ユークリッド空間における偏微分の問題
ramayanaの回答
- ramayana
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ANo.1 への補足「逆行列を計算してみたのですが,0にならないことが証明できません」について ヤコビ行列 D(F) の左上 n-2 行 n-2 列は、単位行列です。これを I とします。同じく、右上 n-2 行 2 列は、零行列です。これを O とします。さらに、左下 2 行 n-2 列を P、右下 2 行 2 列を Q と置きます。 さて、このような、左上が正方行列で右上が零行列となる行列の行列式は、簡単に計算できて、 det(D(F)) = det(I)det(Q) = det(Q) となります。よって、原点において det(Q) ≠ 0 であることを示せばよいわけです。 「;」で行を区切って、行列 Q を (第1行第1列, 第1行2列; 第2行第1列, 第2行第2列) で表示すると、 Q = (πcos(πx[n-1]), πcos(πx[n]); (n-1)πcos((n-1)πx[n-1]), nπcos(nπx[n])) です。とくに原点おいては cos(πx[n-1]) = cos(πx[n]) = cos((n-1)πx[n-1]) = cos(nπx[n]) = 1 なので、 Q(原点) = (π, π; (n-1)π, nπ) です。よって det(Q(原点)) =π×nπ -π×(n-1)π = π^2 ≠ 0 となります。 ************* ちなみに、後の小問で D(F) の逆行列を使うことになりますが、次のようにしてこれを計算できます。 D(F)^(-1) の左上 n-2 行 n-2 列を R、右上 n-2 行 2 列を S、左下 2 行 n-2 列を T、右下 2 行 2 列を U と置きます。 D(F)D(F)^(-1) = (I, O; P, Q)(R, S; T,U) = (R, S; PR+QT, PS+QU) で、これが単位行列だから、 R = 単位行列 S = 零行列 PR + QT = 零行列 PS + QU = 単位行列 となります。これらから、 T = -Q^(-1)P U = Q^(-1) を得ます。
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