高校数学、領域の図示

質問

２＋log√ｙ（３）＜logｙ（８１）＋２logｙ（１－ｘ／2)（(1)）の領域を図示せよ。
（私の解答）
ｙ≠１、ｙ＞０であり、２＞ｘ
log√ｙ（３）＝２／log3(y),logy(81)=4／log3(y),logｙ（１－ｘ／2)={log3(１－ｘ／２）}／log3(y)
(1)⇔２＋２／log3(y)＜4／log3(y)＋２×{log3(１－ｘ／２）}／log3(y)
（私の解答）
log3(y)＝Y、log3(１－ｘ／２）＝Xとおくと、
(1)は１＋１／Y＜（２＋X）／Y
（ア）Y>0のとき、Y-1＜X。
このとき、４／３＞ｘ、ｙ＞－１
(イ）Y<0のとき、４／３＜ｘ＜２、ｙ＜－１
でア、イの領域を図示しました。
私の答案は誤答だったのですが、明確に違うといえるポイントはどこなのでしょうか？（この解答を私が書いたとき、自信を持って描いたので、どこの時点でで、この解答はダメと気がつくべきだったのかが知りたいのです。）

回答No.3

NemurinekoNya · ベストアンサー

（ア）の場合、
Y=log3(y) > 0だから
　y > 1
だね。
「y > -1」を「y > 1」だと思っていた（ポリポリ）。
だって、
この質問文を見ていると、何故かわからないけれど、目がすごくチカチカするんだもん。

Y = log3(y) > 0だから
　-1 < Y-1 < X = log3(1-x/2)
　log3(1/3) < log(1-x/2)
　x < 4/3

なので、x < 4/3, y > 1は、あくまで、必要条件。
　不等式　２＋log√ｙ（３）＜logｙ（８１）＋２logｙ（１－ｘ／2)
を満たす(x,y)は、この条件を満たさないといけない。
ですが、
x < 4/3, y > 1の領域の点(x,y)が全て、上の不等式を満たすとは限らない。

なので、
☆つまりアについて、（イも同様）４／３＞ｘ、ｙ＞－１をみたす全ての（ｘ、ｙ）が(1)を満たすわけではない。Y-1＜Xをみたす（ｘ、ｙ）が(1)を満たす。ということでしょうか?
◇はYESです。
余計な点(x,y)が、入っちゃっているんですよ。

ですから、
　log3(y) - 1 < log3(1-x/2)
　log3(y) < log3(1-x/2) + 1 = log3{3(1-x/2)}
y < 3(1-x/2)
ほいで、y > 1と仮定しているから、
　1 < y < 3(1-x/2)　　・・・　1 < yを付け足すのを忘れてはいけない。
　1 < 3(1-x/2)
　x < 4/3

質問者さんのですと、
　y < 3(1-x/2)
が抜けている、というわけです。
領域が大きすぎるんですよ。

（イ）は、これを真似してやってくださいね。

これは蛇足なんだけれども、
対数を書くとき、
log3(x+1)とかは、止めた方がいいよ。
こうした書き方は、回答者の混乱を招くので。

たとえば、
NO１さんのように、
log_3(x+1)
とかにした方がいいと思います。

あと、できるだけ回答を見やすく書くことをお薦めします。
質問文が見にくいと、回答がつきにくいですよ～。

機会がありましたら、再会しましょう。
ではでは。

お礼

ありがとうございました。がんばります

回答No.2

NemurinekoNya

☆（ア）Y>0のとき、Y-1＜X。
このとき、４／３＞ｘ、ｙ＞－１
◇これは、この不等式を満たすためのxとyの値の範囲。

たとえば、
0<x<1でy<2xとしたとき、
yはy<2の値をとる。
だから、
0<x<1、y<2xの領域は、
0<x<1、y<2
とするのと同じことをやっています。

xとyの必要条件を図示しているんですよ。

（イ）も同じです。

お礼

ありがとうございました。がんばります。

補足

つまりアについて、（イも同様）４／３＞ｘ、ｙ＞－１をみたす全ての（ｘ、ｙ）が(1)を満たすわけではない。Y-1＜Xをみたす（ｘ、ｙ）が(1)を満たす。ということでしょうか?

回答No.1

masa072

（ア）Y>0のとき、Y-1＜X。

ここまでは正しいですね。しかしなぜ次の
「このとき、４／３＞ｘ、ｙ＞－１」が出てきましたか？
どう考えても従属関係です。

戻すと、
log_3 y<log_3 (1-x/2)+1
log_3 y<log_3 (1-x/2)+log_3 3
log_3 y<log_3 3(1-x/2)
底3は1より大きいので、
y<3(1-x/2)

また、Y>0よりlog_3 y>0、y>1となります。

Y<0も同様に考え、y>3(1-x/2) (0<y<1)

さらにx<2を考慮すると求めるべき領域が決定します。

お礼

ありがとうございました。頑張ります。

補足

ごめんなさい。４／３＞ｘ、ｙ＞－１が従属とはどういうことなのでしょうか？