【Z=(b+i)^2 で、arg z = 60度

質問

【Z=(b+i)^2 で、arg z = 60度　の時の、bを求めよ（b>0）】　という問題で、

最初に次のようなくだりがあります。

『　bは正の値だから、　arg(b+i)=30度　である』

・・・いったい、どうしてこのようなことになるのでしょうか？

回答No.1

kt_tora · ベストアンサー

複素数の積は偏角の和になるので，
2乗すると偏角は2倍になります．

arg(b+i)^2 = 60度 = 420度なので，
arg(b+i)は30度または210度です．

b>0の条件から，(b+i)は第一象限にあるので，
0度 < arg(b+i) < 90度となり，
arg(b+i) = 30度と求まります．

お礼

このような考え方があったとは！

実際に他の数字を二乗してみても、同じなのでしょうね。

とても助かりました。

ご回答、どうもありがとうございました！

回答No.2

gomagoma427

最初に断っておきますが、数学についての記憶が古く曖昧なので、見当はずれなことを言っているかもしれません。

複素数の掛け算は、長さの積と角度の和として表されます。

つまり、ふたつの複素数ｚ、ｗがある場合、その積　ｚｗ　の原点からの距離（長さ）はｚの長さとｗの長さをかけたものであり、ｚｗのｘ軸とのなす角度は、ｚがｘ軸となしていた角度を、さらにｗがｘ軸となしていた角度の分だけ回転させたものなります。つまり角度は足されているのです。

つまり
arg (b+i)^2 = 60度

ということは b+i の角度をふたつ足して60度ということになります。もっと言えば　b+i　の角度の2倍です。
そう聞くとこの時点ですでに３０度と結論を出してしまいたくなりますが、場合によっては違います。

ここで質問者様が参照した問題の解説ではｂが正の値であるからと書いてあったようですが、個人的にはｂ＞０　と比較されており、ｂが実数であることが大切なような気がします。例えばｂが虚数部分が0ではない（つまり実数ではない）虚数である場合、ｂ＞０　やｂ＜０のように大きさが判定できません。

したがってｂ＞０の時点でｂは実数であると言われています。ｂが実数でさえあれば角度は30度とわかるような気がします。

それはなぜかと言われると、2倍して60度になるものは基本的にふたつしかないからです。ひとつは30度ですし、もうひとつは210度です。210度を単純に2倍すれば420度ですが、360度を引けば60度です。

例えばｂが虚数でも良い場合、

ｂ＝－√３－２i

とおくと、

b+i = -√3 - i

は複素数平面では偏角210度ですので、これを2倍したものの偏角は60度です。
しかしｂ＞０とｂが実数であると言われてしまうと、こちらの可能性は否定されてしまいます。

したがって　ｂ＝√３です。

お礼

とても詳しいご説明を、どうもありがとうございました。

お陰様で、とてもよく理解できました！