複素関数論

質問

途中の解き方もあわせて教えてください。

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回答No.4

yyssaa · ベストアンサー

No.3です。(2)の回答です。
(2)
＞a=0のとき
I=∫(θ=0→2π)1/(1-2acosθ+a^2)dθ
=∫(θ=0→2π)1dθ=2π
a≠0のとき
z=e^(iθ)=cosθ+isinθとおくと、
1/z=e^(-iθ)=cosθ-isinθからcosθ=(1/2)(z+1/z)
dz/dθ=ie^(iθ)=izからdθ=(1/iz)dz
θ=0→2πのときzは半径1の円|z|=1の上を1周するので、
I=∫(θ=0→2π)1/(1-2acosθ+a^2)dθ
=∮(|z|=1)1/{1-a(z+1/z)+a^2}(1/iz)dz
=i∮(|z|=1)1/{az^2-(a^2+1)z+a}dz
=i/a∮(|z|=1)1/{(z-1/a)(z-a)}dz
ここで積分路|z|=1の内側にある被積分関数の特異点は、
a＞1のときは1位の極z=1/aだけ、a＜1のときは1位の極
z=aだけとなるので、I=i/a∮(|z|=1)1/{(z-1/a)(z-a)}dzは
(ア)a＞1のとき
I=(i/a)2πiRes(1/a)
=(-2π/a)lim(z→1/a)[(z-1/a)/{(z-1/a)(z-a)}]
=2π/(a^2-1)
(イ)a＜1のとき
I=(i/a)2πiRes(a)
=(-2π/a)lim(z→a)[(z-a)/{(z-1/a)(z-a)}]
=2π/(1-a^2)
以上より
a＞1のとき2π/(a^2-1)、a＜1のとき2π/(1-a^2)・・・答

回答No.3

yyssaa

取り敢えず(1)について
(1)
＞z=A+iyだからω=e^z=e^(A+iy)=e^A*e^(iy)
e^(iy)=cosy+isinyは複素平面上の半径1の円。
よって、e^z=e^A*e^(iy)はω平面(複素平面)上の
ω=0を中心とする半径e^Aの円を表す。

回答No.2

Ae610

(2)のみ回答・・!

I = ∫[0→2π]{1/(1-2a・cosθ+a^2)}dθ = 2π/|1－a^2|

回答No.1

info222_

(1)のみ
z=x+iy=A+iy
(y=-∞～∞)
ω=exp(z)=exp(A)*exp(iy)
=u+iv=√(u^2+v^2)*exp(iθ)
tanθ=v/u=tan(y)=-∞～∞
√(u^2+v^2)=exp(A) ∴u^2+v^2=exp(2A)

(答)　原点を中心とする半径exp(A)の円