関数の最大、最小の問題で

質問

0≦x≦1,0≦y≦1のとき、(x+y-1)^2+(x-y+1)^2の最大値、最小値を求めよという問題が分からないので解説お願いします。解説がないので困っています

回答No.6

heno_moheiji

解法はいくつもある。

その(1)
Ｐ＝(x+y-1)^2+(x-y+1)^2＝展開する＝2(x＾2+y＾2－2y＋1)
従って、Ｐ/2＝x＾2＋(y－1)＾2となる。
条件より、0≦x≦1,0≦y≦1　だから、0≦x＾2≦1,0≦y≦1　→　0≦(y－1)＾2≦1
つまり、0≦x＾2＋(y－1)＾2≦2だから、0≦Ｐ/2≦2だから、0≦Ｐ≦4

その(2)
x+y-1＝α、x-y+1＝βとする。
和と差を作ると、2x＝α＋β、2y＝α－β＋2
これを、0≦x≦1,0≦y≦1に代入すると、0≦α＋β≦2、0≦α－β＋2≦2　‥‥(1)
r＝(x+y-1)^2+(x-y+1)^2＝α＾2＋β＾2　‥‥(2)とすると、(1)の条件で最大値、最小値を求める事になる。
(1)をαβ平面上に図示すると、4点(0、0)、(1、1)、(0、2)、(－1、1)で作る四角形の内部と周上。
その領域に対して、円(2)の値域を定める。
・最大値‥‥点(0、2)を通るとき
・最小値‥‥点(0、0)を通るとき

お礼

解放はいくつもあるんですね！両方ともやってみます！ありがとうございました