直線の需要曲線のときの価格弾力性について

質問

需要曲線 P = －aX + b についての需要の弾力性のとき、以下が成り立つとある。
(1) 縦軸切片における弾力性は ∞，横軸切片における弾力性は 0
(2) 原点と横軸切片の中点における弾力性は 1
(3) 中点より左側では弾力性は 1 より大きく，右側では 1 より小さい

ここで、価格弾力性は、需要の変化率÷価格の変化率　ということは理解できているのですが、
上記の直線の需要曲線のとき、なぜ、中点より左側が弾力性が１より大きく、右側が１より小さいと言えるのでしょうか？

図の ac/ab　で求められるという意味がわかりません。

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

需要の価格弾力性の定義は、

(*)　　　ε = -(ΔX/X)/(ΔP/P) = -(ΔX/Δ P)/(P/X)

で与えられます。ここで、ΔPは価格Pの変化量、ΔXはPがΔPだけ変化したときのXの変化量です。あなたの図は、一次関数の係数a,bと図の位置を示す記号が同じアルファベットの小文字で示されているので混乱しやすいので、図のaのところはA、ｂのところはB、ｃのところはC、縦軸上のb/2のところはD、横軸上のb/2aのところはGで表わすことにしましょう。それから、A点はかならずしも線分BC上の中点ではなく、任意の点としましょう。すると、Gも点もA点に対応する点なので、かならずしも線分OCの中点でではないことになる。A点における価格弾力性の値は、

　　　－ΔX/ΔP = 一次関数（P = -aX + b）の傾きにマイナスを付けたもの逆数= 1/a = GC/AG

となることを確かめてください。また

　　　　P/X = AG/OG

であるから、これらを定義式(*)の右辺に代入すると

　　　　ε=　（GC/AG）（AG/OG) = GC/OG

となる。図をよくみてください。⊿CGAと⊿COBは相似であることに注意してくさい（なぜ相似形？）相似形の性質より

　　GC/GO = CA/AB

よって、
　　　　ε= CA/AB

とあなたの質問の答えが得られた。なお、⊿BDAと⊿BOCが相似であることから、CA/BA = OD/DBとなるので、弾力性は

　　　　ε = OD/DB

も成り立つことに注意。
最後に、B点が線分BCの中点、すなわち、OG =b/2a、GA = OD = b/2ならば、GC =OGであり、CA = ABであり、OD = DB
が成り立つので、上の弾力性の公式から

　　　　ε＝１

となる。したがって、A点が線分BC上で中点より左側にあるなら、CA>ABとなるので、ε＞１であるし、A点が線分BC上で中点より右側にあるなら、CA<ABとなるので、ε<１となることが直ちに導かれる。

お礼

ありがとうございました。
とても詳しく式を導いて頂けたので、よくわかりました

回答No.2

statecollege

「需要の価格弾力性」の問題についてはこれまで何度も回答しています。 あなたの質問との関連では

　http://okwave.jp/qa/q8484400.html

の、とくに回答No3を参照してください。また、これ(↓）も

　http://okwave.jp/qa/q8436916.html

参照してください。

お礼

ありがとうございました。参考になりました