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実数の定義について
funoeの回答
- funoe
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個々の実数は、それぞれ有理数のCauchy列である。という理解はそれほど間違っていません。 実数「1.5」とラベルの張られた箱の中に「実数1.5の本質」が入っていて、 箱を覗くと、中に有理数からなるCauchy列がたくさん入っていて、それらはいずれも1.5に収束する数列である。 実数「√２」とラベルの張られた箱の中に「実数√２の本質」が入っていて、 箱を覗くと、中に有理数からなるCauchy列がたくさん入っていて、 それらの各項を２乗した数列はいずれも２に収束する。 （ヘンな書き方しているのは、雑に√２に収束するって書いちゃうと「√２って何？」と循環しちゃうから・・。 1.5の方は既に有理数として定義済みなので1.5に収束って書いても突っ込まれないと思う） 実数1.5の箱から適当に１本のCauchy列を選んで、 実数√２の箱からも適当に１本のCauchy列を選んで、 各項の和の数列を考えるとそれもCauchy列になっていて、 しかも、再度、それぞれの箱から適当に選びなおして和を考えたCauchy列と、 「差の極限がゼロ」になるから同値になる。 こうやって、1.5の箱と√２の箱から適当に１本ずつ選んで、各項の和をとったCauchy列を集めた箱には 「1.5＋√２」というラベルを張る。 例えばこうやって、実数の和を定義するんです。 ＞ここでは数列と数を同一視しているのでしょうか その通り！
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