以下の1次関数の解き方がよくわかりません。

質問

y=-|x-2|+3 (定義域　-1≦x≦3)の値域をもとめよ。

という問いで普通に-1～3を代入して 0≦-|x-2|+3≦3

と回答したのですが答えを見ると…

-1≦x≦3のとき 0≦|x-2|≦3よって 0≦-|x-2|+3≦3

と書かれていました。

何度見ても答えの解き方がわかりません。

どなたか解説いただけないでしょうか。

初歩的な質問であることは理解しています。

回答No.3

englishquestion · ベストアンサー

「答えの解き方」の解説をします。

「-1≦x≦3のとき 0≦|x-2|≦3よって 0≦-|x-2|+3≦3」
を
「-1≦x≦3のとき 0≦|x-2|≦3」と
「0≦|x-2|≦3　よって 0≦-|x-2|+3≦3」
という２つの部分に分けて説明します。

まず前半部分です。こっちは分かるのでしょうか。
「-1≦x≦3のとき 0≦|x-2|≦3」です。

|x-2|っていうのは数直線で言えば、2からの距離を
表しているので、-1≦x≦3 という条件からすれば、
距離が最短になるのは、x=2のときで、距離は0、
最長になるのは、x=-1のときで、距離は3です。
なので、0≦|x-2|≦3　となるわけです。

で、次に後半部分です。
「0≦|x-2|≦3　よって 0≦-|x-2|+3≦3」
おそらくこっちがわからないのではないかと思いました。

不等式の基本の確認です。
x≦a ならば、-x≧-a となるのはご存知ですか？
x≦a ならば、x+b≦a+b となるのはご存知ですか？
この2つしか使っていませんよ。

0≦|x-2|≦3　にマイナスをかけます。
すると不等号の向きがひっくり返ります。
-0≧-|x-2|≧-3
ですね。
普通の向きに変えると、
-3≦-|x-2|≦0
です。

もし、いっぺんに
0≦|x-2|≦3　にマイナスを掛けるのが不安ならば、
これは、
0≦|x-2|　かつ　|x-2|≦3　ということですから、
それぞれにマイナスをかけて、
-0≧-|x-2|　かつ　-|x-2|≧-3　としてから、
再びこの2つを合わせれば、
-0≧-|x-2|≧-3
となるのがわかると思います。
つまり、-3≦-|x-2|≦0　が得られます。

この不等式に、3を足します。不等号の向きは変わりません。
-3+3≦-|x-2|+3≦0+3
つまり、
0≦-|x-2|+3≦3　
となります。

これが「答えの解き方」ですね。

お礼

ご回答ありがとうございます。
ずっと代入してといてきたのでこういう方法で
解いたことは無かったのですがこちらのほうが早く答えを出せそうですね。
詳しい解説ありがとうございました。