運動量空間とはどんな空間ですか？

質問

運動量空間というのは、目に見えないだけで現実にちゃんと存在している空間なんでしょうか？それとも現実世界での位置の高さを位置エネルギーの大きさに相当するのと同じような感じで、粒子の各方向に対する運動量の大きさ等の状態を表すためだけに導入された仮の空間ですか？
また逆空間や逆格子ベクトルという言葉も出てきたのですが、これらも架空の物で導入された考えですか？使っている本によるとX線回折などに利用されてるような記述が少しだけあるのですが、逆空間の物をフィルムに現像する事なんて出来るのでしょうか。それに波は逆空間では１点で示すが実空間では平面になるという意味がよく分かりません。それともあまり深く追求しないで、そういう考えを導入した方が都合が良いから程度で飲み込んだ方が良いでしょうか。

難しいというよりちょっと不思議な概念な気がするので、おおまかなイメージでも良いのでどなたか丁寧に説明してもらえると嬉しいです。

回答No.4

noel_lapin · ベストアンサー

大学生であれば総合図書館や物理学科の図書室に本が多数あるように思います。

画像処理だと
http://keio-ocw.sfc.keio.ac.jp/j/Sc_and_Tech/06D-002_j/list2.html
http://opencv.jp/sample_code
があるけど、わかりやすいか不明。

フーリエ関数は、たくさんある直交関数のひとつ。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E9%96%A2%E6%95%B0%E5%88%97
フーリエ変換は関数空間での座標変換。

周期運動を円運動の足し合わせに分解する、というのは、天動説において、惑星の運動を複数の円運動の組み合わせに分解したのと同じ。

円運動は単振動に対応し、初期のアナログ・シンセサイザにおいては、楽器の音を単振動の音の足し算（級数、フーリエ級数）で近似しようとした。

いろいろな物性を単振動の和に分解するのは、問題を簡単にしようとしているのだと思います。

お礼

何となくイメージ出来ました。有難うございます。

回答No.6

noel_lapin

wata717さんの回答にある

>逆空間は(ω,p)空間です

においてｐは３次元ベクトルで平面波が進む方向と速度を表します。
ωは波の振動数に対応。

三角関数で振動の分解すると、各成分は平面波。
ルジャンドル関数や球ベッセル関数で振動を分解するなら、各成分は球面波。

ルジャンドル関数(球)とかベッセル関数（円筒）より三角関数（直方体）が計算しやすい、程度の理由で三角関数によるフーリエ展開を多用するのだと思います。

回答No.5

noel_lapin

>フーリエ変換は関数空間での座標変換。
は下記の誤りでした。
　関数列の取り換え（例えば三角関数と球関数）は関数空間での座標変換。

わかりやすいサイトとか、知らないのでごめんなさい。

回答No.3

wata717

2014/3/22:物理学を定量的に記述するために数学は不可欠で、今の場合フーリエ変換が使用されます。
何かある物理現象fが時間的に変動する場合は、（ここで時間t）その物理量を
f(t)=∫e^[2πiωt]dω
と表現可能で、ωパラメータは振動数を表します。
同様に物理現象fが空間的に変動する場合は位置ベクトルｒを用いて
f(r)=∫e^[2πipr]dp
とpパラメータ（これは運動量ベクトルと物理では呼ぶ）を用いて表現できます。そして重要なことは数学的に相互逆変換が可能で、それぞれは,逆に
f(ω)=∫e^[-2πiωt]dt,
f(p)=∫e^[-2πipr]dr
と表現できます。
実空間とは（t, r)空間であり、逆空間は(ω,p)空間です。両者をまとめれば相対性理論の４次元空間になります。物理学では逆空間がよく計算では利用されます。
波数とは、pを別な言い方しただけの事で本質はpです。
本を読んでいるだけではピンと来ないことはよく理解できます。
しかし電子顕微鏡実験をすれば逆格子をアリアリと目視体験することが出来ます。プリズムはω分解を知る簡単な実験です。
ここの概念は物理学では極めて根本的に重要ですので、静かに長時間思索されることを切望します。

補足

回答有難うございます。

フーリエ変換という物がとても重要なんですね。物理数学の授業でフーリエ展開について3回位の講義でやりましたが、計算は出来るのですがフーリエ空間と実空間との対応などの物理的意味はあまり説明が無かった気がして、回答の内容もよく理解することが出来ませんでした。私は４月から大学３年生で今のうちから物性論などの予習をしていて、もうフーリエ空間の事を一から詳しく教えてもらえるような授業は無いかもしれません。ですのでもう少し易しい説明をお願いします。

もしくはそれらの意味を勉強できるサイトやフーリエ空間や逆空間などを根本から学べるお薦めの本がありましたら教えてもらえないでしょうか。

回答No.2

noel_lapin

>逆空間の物をフィルムに現像する
フーリエ変換で画像を処理すると逆空間での映像が得られます。

画像・写真の中に一定の間隔で繰り返す物体、例えばビルの窓、があると、フーリエ変換した画像では、その窓の周期に対応した点が明るく輝く映像になります。

オーディオでは、周波数を横軸に、音の大きさを縦軸にとって音を表現することがあります。この周波数表示の２次元空間も逆空間に近いものです。

補足

回答有難うございます。

フーリエ変換という物がとても重要なんですね。物理数学の授業でフーリエ展開について3回位の講義でやりましたが、計算は出来るのですがフーリエ空間と実空間との対応などの物理的意味はあまり説明が無かった気がして、回答の内容もよく理解することが出来ませんでした。私は４月から大学３年生で今のうちから物性論などの予習をしていて、もうフーリエ空間の事を一から詳しく教えてもらえるような授業は無いかもしれません。ですのでもう少し易しい説明をお願いします。特に、
＞逆格子空間の１点は１つの周波数(振動数)を表します。
したがって単一の周波数を持って無限に広がる平面波が波面と垂直方向に進んでいる状態を表します。ここで「平面波が進む空間」は、通常の物理的空間です。

の部分をもう少しお願いします。それと逆空間の座標軸の物理量は何ですか？

もしくはそれらの意味を勉強できるサイトやフーリエ空間を根本から学べるお薦めの本がありましたら教えてもらえないでしょうか。

回答No.1

noel_lapin

運動量空間の点は、xyz方向の運動量を座標とする点、px, py, pz を座標とする点です。
運動量空間という言葉の「空間」は数学的な意味での空間です。

逆空間の「空間」も数学的な空間です。wikiでは逆格子空間と表記しています。
逆格子空間の１点は１つの周波数(振動数)を表します。
したがって単一の周波数を持って無限に広がる平面波が波面と垂直方向に進んでいる状態を表します。ここで「平面波が進む空間」は、通常の物理的空間です。

なお、相対論では３つの運動量に加えて、4番目にエネルギーを座標とする運動量空間を考えます。
静止質量をｍ、光速をｃとして px^2 + py^2 + pz^2 - (E/c)^2 = -(mc)^2　となるので、
静止質量ｍの粒子の運動量ベクトルの先端は、半径ｍｃの４次元の球面に乗ります。
この相対論的運動量空間での球面を shell （殻の意）とか mass shell と呼びます。