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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:底辺・高さ一定(面積一定)の三角形の二辺を求める式)

底辺・高さ一定の三角形の二辺を求める式

このQ&Aのポイント
  • 質問文章より、底辺・高さ一定の三角形において、辺の長さを求める式について知りたいです。検索エンジン最適化(SEO)を意識した要約文を作成します。
  • 鋭角三角形ABCにおける頂点Cから辺ABに下した垂線の足を点Hとし、辺ABの長さをL、辺CHの長さをh、辺AHをx、辺AC+辺CBの長さをyとします。質問では、Lとhが一定の場合の『x=f(y)』もしくはシンプルな形の『y=f(x)』を知りたいとしています。
  • 目的としては、一定長に張った弦の下に駒を置き、駒の位置を計算して音程を変えるため、駒の位置変化による総弦長を求めたいとしています。駒の位置変化xによる総弦長がyとなるとし、質問文中の式ではy=√(h^2+x^2)+√(h^2+(L-x)^2)です。質問者はこの式のままでは計算が困難であるため、他の計算方法を求めています。

質問者が選んだベストアンサー

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  • 178-tall
  • ベストアンサー率43% (762/1732)
回答No.8

< ANo.5 の数値例についての蛇足。 >L=40, x=5, h=4 。 > y=√(h^2+x^2)+√(h^2+(L-x)^2) = 41.63 > ya=L*{1 + (h^2/{2x(L-x) })] = 41.83 (近似誤差 約 0.5 % ) に対する < ANo.7 のカーブ・フィッティングで得られた「実験式」の一例です。  dy = k*|(L/2)-x|^3  y = y_min + dy    k = 2.54(E-4), y_min = 40.79 L=40, x=5, h=4 の結果は、  y = 41.65 (近似誤差 約 0.05 % ) …数値は僅差ですけど、近似誤差は一桁改善されました。   

_Michael
質問者

お礼

 ありがとうございます。  お礼をさせていただいたつもりがうまくできていませんで、今になりました。  たくさんありがとうございます。  近似ということを完全に失念しておりました。  これでやると大分計算できる形になりましたので本当に助かりました。 (新たな問題として4乗の式が出てきて、解の公式としてやろうと思うとかなり複雑になってしまいましたが…(T_T)これはまた別の問題です。)  本当にありがとうございました!

その他の回答 (7)

  • 178-tall
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回答No.7

少々、蛇足を。 >…回答でよく見かける、「計算で出さず、実測した方が早いですよ」等の至極当然のお答は、大変申し訳ございませんが求めておりません… これは有力な一手なのかも…。もっとも、現物で「実測」するわけじゃありません。 わずかな「弦長の変化」を理論式ないしその近似式で追っかけると、どうしても大げさになりそう。 この課題では、全弦長の半分にて最小弦長 y_min、一端まで「駒」をずらしたとき最大弦長 y_max ですね。 ならば、最小弦長 y_min を超える増分 dy に着目し、それを単純なカーブでフィッティングするという手は如何? たとえば、  dy = k*{(L/2)-x}^m として、  y = y_min + dy = y_min + k*{(L/2)-x}^m という算段です。 この程度の「近似」で、「一次近似」よりは誤差を減らせそうな気配…。   

  • 178-tall
  • ベストアンサー率43% (762/1732)
回答No.6

>この条件で y=√(h^2+x^2)+√(h^2+(L-x)^2) となるのはわかるのですが… y が無理項の和なのは、イロイロと扱いにくい。 「d が十分小さければ √(1+d)≒1+d/2」は単に無限級数を一次近似で打ち切ったもので、無理式を有理式で近似したければ「パデ近似」が便利かもしれません。 参考 URL の Pade Table / An example – the exponential function の中にある {m,n} = {1,0} の式、  e^z ≒ (1+z)/1 が √(1+d)≒1+d/2 に相当。 (1+d) = e^z ≒ (1+z) ならば z=d なので、  √(1+d) = e^(z/2) ≒ 1+(z/2) … というわけ。 {1,1} の式 e^z ≒ (2+z)/(2-z) はよく実用に供されます。  (1+d) = e^z ≒ (2+z)/(2-z) なら z=2d/(2+d) なので、  √(1+d) = e^(z/2) ≒ {2 + d/(2+d) } / {2- d/(2+d) } = (4+3d)/(4+d) なるパデ近似を得る。 確かに、{1,0} の式よりも近似精度が上がります。   

参考URL:
http://en.wikipedia.org/wiki/Pad%C3%A9_table#An_example_.E2.80.93_the_exponential_function
  • 178-tall
  • ベストアンサー率43% (762/1732)
回答No.5

当てずっぽの数値例ですけど、  L=40, x=5, h=4 。  y=√(h^2+x^2)+√(h^2+(L-x)^2) = 41.63  ya=L*{1 + (h^2/{2x(L-x) })] = 41.83 (近似誤差 約 0.5 % )   

  • 178-tall
  • ベストアンサー率43% (762/1732)
回答No.4

誤算訂正のつもりですが、吟味ください。 y = √(h^2+x^2) + √(h^2+(L-x)^2) = x*√[1 + (h/x)^2] + (L-x)*√[1 + {h/(L-x)}^2] ≒x*[1 + (1/2)*(h/x)^2] + (L-x)*[1 + (1/2)*{h/(L-x)}^2] = L + (h^2/2)*[ (1/x) + {1/(L-x)}] = L*(1 + [h^2/{2x(L-x) } )   

  • 178-tall
  • ベストアンサー率43% (762/1732)
回答No.3

>y=√(h^2+x^2)+√(h^2+(L-x)^2) となるのはわかるのですが… 実用向けのハナシらしいので、近似式の利用を検討するのも一手でしょう。 d が十分小さければ √(1+d)≒1+d/2 という単純な一次近似です。 y = √(h^2+x^2) + √(h^2+(L-x)^2) = x*√[1 + (h/x)^2] + (L-x)*√[1 + {h/(L-x)}^2] ≒x*[1 + (1/2)*(h/x)^2] + (L-x)*[1 + (1/2)*{h/(L-x)}^2] = L + (h^2/2)*[ (1/x) + (1/(L-x) )]  …   

  • spring135
  • ベストアンサー率44% (1487/3332)
回答No.2

>※これより条件として 0<x≦L/2 が出ます。 こんなことはいえません。要するに0<x≦L/2の条件下で計算したいと言うことですね。 y=√(h^2+x^2)+√(h^2+(L-x)^2)  (1) は最も簡単な式でこれをいやがるようではこの計算は望み薄ですね。後は三角関数を使う方法もありますが(内容的には(1)を使うのと等価です。)問題の正確から見て角度の話もしたくないでしょう。 最も分からないのは >駒の位置→周波数 は計算しやすく簡単に出てくるが、(2) と言う意味です。これが確定しているなら逆問題として簡単に所期の解も得られるはずです。何しろ難しいことはしていないから。(1)をxで微分してみればすぐ分かるようにx=L/2(HがABの中点)のときyは最小となりいずれにしろこれを基準に張力の増加を考えていくべきですが、(2)の部分を説明してください。

_Michael
質問者

補足

 ご質問ありがとうございます。  そうですね…^^; 大分説明をすっとばしてしまったもので、その条件が出るということがわかりにくいですね。  「『鋭角三角形』という条件より 0<x<L の条件が出るのですが、(spring135様のご指摘の通り) x=L/2 の最小値を中心として左右対称になるのは明らかなので…」という部分を省いて書かせていただきましたm(_ _)m  もし、0<x<L の方が計算式が楽になったり、計算しやすかったりするのであれば、それでも一向に構いません。鋭角三角形下の問題でさえあれば…。  左右対称であれば、条件範囲が狭い方がいいかな?という素人判断なだけですのでね^^;  (2)の部分は質問の部分が明らかになることで解消いたしますし、多分別解をしていただける方には長々と説明しなくてもわかる部分だろうなぁ、と思い、不必要かと判断し省かせていただいておりました^^;すみません。  全部記載いたしますと長々となりますので、計算手順のアウトラインのみでもよろしいでしょうか? (1)駒の位置より弦長変化を計算(逆式を作る時、この部分がネックとなり、質問させていただいております。) (2)それより、歪み、応力、と求め、断面積Aを与えることで張力増加(駒を入れていない段階での張力Sを基準の張力としています)を計算 (3)張力増加と駒の位置(弦の長さ)、各種条件(ヤング率E、線密度ρ)より周波数が求まる ※周波数は固有振動数のうち、倍振動を考えず、基本振動のみとして考えております。  以上で大丈夫でしょうか?  これでは不十分でわからない、とおっしゃられるようであれば、長くなるのを覚悟で記載させていただきますが…;;  それではよろしくお願いいたします。

  • ORUKA1951
  • ベストアンサー率45% (5062/11036)
回答No.1

ひょっとして、弦の下にというのは、箏(琴じゃない)のようなものを想像されているのですか?  箏の場合、移動する柱(じ)---駒、ブリッジ---によって音程を調整できますが、別途張力を調整する仕組みがあるので柱の左右の張力は同じと考えてよいです。

_Michael
質問者

お礼

 早速にありがとうございます。  想定としては1弦のみで、駒を動かして音程を変えられる、といった程度の物で、工作の輪ゴムギターに毛が生えた程度の代物です。(その程度の物をこんなに考えなくてもいいのですがね…^^;性格上気になるとほっておけない性質でして。)  また、“駒の左右”の張力の話ではなく、駒の位置により“弦そのもの”の張力変化を起こすために、通常の比率の位置に駒を移動させても望んだ音程を表現できない、という点を気にしております。  ご指摘していただきました意図を取り違えておりましたらご容赦ください。  ただ、単純に『張力を調整する仕組み』という点には興味がそそられますので、また機会があれば調べてみようと思います。

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