数学です。至急お願いします!!!

質問

この問題の解き方をできるだけ詳しく教えてください‼

問題

関数f(x)=x^4について、極限値
limf(1+2h)-f(1)/hを求めよ。
h→0

よろしくお願いします

回答No.5

englishquestion

微分まで習っていれば、こういう感じでもできます。

lim {f(x+h)-f(x)}/h = f’(x) を使います。
h→0

lim {f(1+2h)-f(1)}/h
= lim 2・{f(1+2h)-f(1)}/2h
（fの中の2hに分母を合わせた）
= 2・lim {f(1+2h)-f(1)}/2h
= 2 ・f’(1)
= 2 ・4x^3 |x=1
= 2 ・4
= 8

途中h→0を新たに2h→0 としています。
また、4x^3 |x=1　というのは、4x^3 のxに1を代入する という意味です。

--------------------------------
なお、(1+2h)^4 の展開ですが、もしやるのなら
こうするのがよいのではと思います。

まずパスカルの三角形を書きます。
パスカルの三角形で検索してみてください。
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
これが(x+y)^4　で出てくる係数です。
あとは、2hから出てくる2の累乗を勘案して、
1 x 2^0 = 1
4 x 2^1 = 8
6 x 2^2 = 24
4 x 2^3 = 32
1 x 2^4 = 16
と係数が計算できます。
(1+8h+24h^2+32h^3+16h^4)

実際には、
1 4 6 4 1
の下に、
1 2 4 6 16
を書いて、上の数字と掛けあわせました。

もし、(2x+3y)^5 を計算するなら、
01 05 10 10 05 01
32 16 08 04 02 01
01 03 09 27 81 243
と書いて、縦に掛けあわせます。

まともに計算すると、間違える自信があります。

回答No.4

shuu_01

僕が計算間違えた所を反省して、ちゃんと計算すると

(1+2h)^4
＝ ｛(1+2h)^2｝｛(1+2h)^2｝
＝（1+4h+4h^2）（1+4h+4h^2）
＝ 1・（1+4h+4h^2）
　　+4h・（1+4h+4h^2）
　　+4h^2・（1+4h+4h^2）
＝ 1+4h+4h^2
　　+4h+16h^2+16h^3
　　　　+4h^2+16h^3+16h^4
＝ 1+8h+24h^2+32h^3+16h^4

回答No.3

shuu_01

あ、適当に頭の中で計算したらやっぱし、計算間違ってた
訂正します

limf(1+2h)-f(1)/h
h→0

＝　lim ｛(1+2h)^4 － 1^4｝/h
　　h→0

＝　lim ｛(1+8h+24h^2+32h^3+16h^4) － 1｝/h
　　h→0

＝　lim (8+24h+32h^2+16h^3）
　　h→0

＝ ８

【答え】　８

回答No.2

shuu_01

僕は学校卒業して、数年、ほとんど知識 抜け落ちてますが、、、

今回の問題はそのまんま計算してみると、、、、

limf(1+2h)-f(1)/h
h→0

＝　lim ｛(1+2h)^4 － 1^4｝/h
　　h→0

＝　lim ｛(1+8h+8h^2+32h^3+16h^4) － 1｝/h
　　h→0

＝　lim (8+8h+32h^2+16h^3）
　　h→0

＝ ８

でないの？

途中、計算ちょっと間違えてるか自信ないけど、
８ は少し自信あります

【答え】　８

PS: こういう簡単な問題は、どこで躓いたかポイントで
　　質問した方が、自分の勉強になり良いです

回答No.1

asuncion

f(1 + 2h)
= (1 + 2h)^4
= 1 + 8h + 24h^2 + 32h^3 + 16h^4

f(1 + 2h) - f(1)
= 8h + 24h^2 + 32h^3 + 16h^4

{f(1 + 2h) - f(1)}/h
= 8 + 24h + 32h^2 + 16h^3

∴与式 = 8