一般での極限の定義はこれで正しい?

質問

こんにちは。
一般での極限の定義をしています。

(X1,d1),(X2,d2):距離空間(d1,d2は距離関数),
map f : X1→X2
に於いて、

limf(x)=α 　(x,a∈X1,α∈X2)
x->a

の定義は

∀ε>0,∃δ>0 ; 0<d1(x,a)<δ⇒d2(f(x),α)<ε

で正しいでしょうか?

回答No.2

yumisamisiidesu · ベストアンサー

(X,O(X)),(Y,O(Y))を位相空間とします.
(O(X),O(Y)は開集合系)
f:X→Yとします
lim(x→a,f(x))=b ≡ ∀Ob:bを含む開集合,∃Oa:aを含む開集合;f(Oa)⊆Ob

(aを含む開集合とはa∈Oa,Oa∈O(X)ということです)

です.ですがもっと別の定義があるかもしれませんが私にはよく分りません.(フィルターとかあったような気がします)

お礼

ご回答有り難うございます。

> (X,O(X)),(Y,O(Y))を位相空間とします.
> (O(X),O(Y)は開集合系)
> f:X→Yとします
> lim(x→a,f(x))=b ≡ ∀Ob:bを含む開集合,∃Oa:aを含む開集合;f(Oa)⊆Ob
> (aを含む開集合とはa∈Oa,Oa∈O(X)ということです)
> です.ですがもっと別の定義があるかもしれませんが
> 私にはよく分りません.(フィル
> ターとかあったような気がします)
位相での定義は2種類あるのですね。
上記のは通常の定義でしょうか?

多変数の場合にも同様に定義出来ますよね。
X:=X1×X2×…×Xnとおいて
(X,O(X)),(Y,O(Y))を位相空間とし、
(O(X),O(Y)は開集合系)
f:X→Y
lim(x→a,f(x))=b ≡ ∀Ob:bを含む開集合,∃Oa:aを含む開集合;f(Oa)⊆Ob
(aを含む開集合とはa∈Oa,Oa∈O(X))

間違ってましたらご指摘ください。

後、微分可能の定義も位相空間でもできるのでしょうか?

回答No.3

yumisamisiidesu

位相空間の直積集合も積位相を導入することで1つの位相空間になるので、収束や連続の定義は出来ると思います.只、微分を一般の位相空間で定義するのは無理のように思います.ですが、Rnよりも広げることは可能だと思います.

お礼

ご回答ありがとうございます。
遅くなりましてスイマセン。
Rnからどれくらいまで拡張できるのでしょうか?

回答No.1

yumisamisiidesu

正しいと思いますが、同様の定義をもっと一般的に距離空間でなく位相空間に広げることが出来ます.

お礼

有り難うございます。

> 位相空間に広げることが出来ます.
えっ!どのようになるのですか?
是非お教え下さい。