重心を数学的に決定する方法はありますか

質問

紙を任意のかたちに切り出した図形の縁を適当な座標に投影して書いた閉曲線から、切り出された紙片の重心を決定する計算方法はありますか。

回答No.2

noname#221368 · ベストアンサー

まず定義です。xy座標での重心の位置を(x0，y0)とすれば、

　　x0＝(∬x dxdy)/A，y0＝(∬y dxdy)/A　　　(1)

となります。ここで2重積分∬は、問題の閉曲線が囲む領域Rで行います。ＡはRの面積です。Ａも同様に、

　　A＝∬ dxdy　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)

で与えられます。

　(1)，(2)にガウスの発散公式、

　　∬(∂fx/∂x＋∂fy/∂y) dxdy＝∫F・ds，Ｆ＝(fx，fy)　　　(3)

を適用します。ここで∫はRの境界S（問題の閉曲線）に沿った左回りの線積分，dsはSの外法線線素ベクトル，・は内積です。(3)を使うと、(1)，(2)の計算が線積分で済むので、多少楽になります。それを添付図(4)，(5)，(6)に示します。ただし添付図におけるFの与え方は示したものだけでなく、同じ結果になるFの与え方は沢山あります。

　Sを折れ線近似して(4)，(5)，(6)の右辺を計算した結果を、添付図の(7)，(8)，(9)に示します。(x[i]，y[i])は、多角形（折れ線近似）の頂点を左回りにたどった頂点座標で、出発点を(x[1]，y[1])とし、(x[1]，y[1])＝(x[n+1]，y[n+1])としています（一回り）。

お礼

何か難しい積分が関係しているのではないかと想像していましたが、やはりそうでしたか。残念ながらご教示の諸式はとても理解できないのですが、趣味の紙工作がこういう数学につながっていることがわかっただけでも十分幸せです。ご教示ありがとうございました。

回答No.1

aokii

閉曲線を全て三角形に分解すればできます。

http://homepage1.nifty.com/gfk/polygon-G.htm

重心は三角形の三つの中線（頂点と対辺の中点を結ぶ線分）の交点です。

一様な材料で作られた三角形の板の物理的重心はその数学的重心に一致します。

お礼

閉曲線が滑らかな場合にも使える公式のようなものはないのでしょうか。三角形の一辺をゼロに近づけるような方法もあるのでしょうか。