結晶中の電子密度と逆格子の関係について

質問

• 結晶中の電子密度は逆格子ベクトルに関連しています。
• 結晶は周期的に原子が並び、電子密度も周期的に変化するため、平面波（三角関数）で表されます。
• 逆格子ベクトルはフーリエ級数展開によって得られ、結晶中の電子密度と関係しています。

回答No.6

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

n_Gは逆格子空間での電子密度

…というと正しいことは正しいが、理解しにくい。
そしてこれを理解するまでに多くの数式に触れることになるが、物理的意味を疎かにして数式展開だけを追うことになってしまう。

ここでいう電子とは原子の最外殻の自由電子のことを指し、多数の原子が重なったことにより縮退した準位にある電子を扱っている。
電子が粒子性と波動性を持つことはスリット実験からわかっています。
波動性を持つということはシュレディンガー方程式を扱うようになっていればわかると思います。
その次に、結晶内に閉じ込められた電子は波動性を持つことから、調和振動子として存在することになります。(定在波として存在)
つまり、結晶の端を固定するように境界条件を定めた条件です。

結晶の端から端までをLとすると、１次の波の波数は2π/L、２次では4π/L、…、p次では2pπ/Lとなり、離散的です。(波は2πで1周期だから、波数に2πをかけておきます)
選んだ直線の原子列の原子の個数をN、原子間隔をaとすれば、L=Naです。
つまりp次では(2π/a)(p/N)となります。

pが大きいほど波数は大きくなります。
しかし、質問文の式からするとNが余分です。
ここまでは、古典的な波での考え方であり、シュレディンガー方程式を使うような量子力学的なことは使ってません。

縮尺をN分の1、つまり電子が結晶全体ではなく原子核の作るポテンシャルの中で束縛されているという条件を付加したことにすればいいわけです。(シュレディンガー方程式のポテンシャルVに並進対称性を付加すること)
これがNo.5さんの書いているような、ブロッホの定理で知られる並進対称性のことです。
こうして計算した結果、波数が結晶の逆格子ベクトルと"同じだった"ということです。
初めから逆格子ベクトルを用いたわけではありません。

では電子の密度とは？
電子の粒子性と波動性を最初に書きましたが、密度と言われると粒子性に着目しがちです。
しかし、考察では波動性を用いており、実際にブロッホの定理はシュレディンガー方程式に出てくる波動関数の並進性を扱っており、これに準じる必要があります。
では、電子がどれだけ存在しているかは、波動関数の2乗を使った存在確率で表す必要があります。

詰まるところ、n_Gとは、Gの波数にどれだけ電子が存在するかを表したものです。

※多少のデフォルメはご愛嬌

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%BB%E8%8D%B7%E5%AF%86%E5%BA%A6