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2つの円の交点を結んだ直線と中心を結んだ直線の交
2つの円の交点を結んだ直線はその2つの円の中心を結んだ直線と直角に交わるという事実はいつ教わるのでしょうか？ センター試験の過去問（2009本試1A第３問）で初めて知りました。もっと前の過去問にも同様の出題があり、些細なことなのですがよろしくお願いします。 なんとなくはわかるのですが、本当にそうなのか？と考え始めるとよくわからなくなってきます。
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「いつ教わるのか？」を聞きたいということならば、 円と二等辺三角形の性質から導けますので、中学生でもいけるのかもしれませんが、遅くとも数１の平面図形の範囲には入るでしょうね。 「直交することの証明」をしたいということであれば、 「円の中心」と「2つの円の交点（2か所）」の三点を結んでできる三角形は、「円の中心」から出る2つの辺が円の半径であることに着目すれば二等辺三角形であることがわかるから、「円の中心」から「2つの円の中心を結んだ直線」への垂線はその直線の中点に下りる。もう一方の円についても同じ。 ことを、図を書きながら確かめてみればわかると思います。
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教科書が手元にないので、はっきりしたことは申せません。しかし、少なくても中学３年生で「２つの円」という節があればそこで習うのではないかと思います。あるいは、直交することを証明する練習問題や２円が交わる計算問題などで使われます。 証明は、例えば円の中心をO, O'とし、２円の交点をA, Bとして、OO'とABとの交点をHとして、△OAH≡△OBH（△O'AH≡△O'BHでもよい）をいうことで証明できます。注意してほしいのは、２円の大きさが異なっても成り立つことです。もし２円の半径が等しければ、△OAH≡△O'AHをいうこと、あるいは四角形OAO'Bがひし形になることからでも証明できます。この時には、垂直二等分線の作図と同じ意味になります。 現在まで知らなかったのは、不幸中の幸いですね。ベクトルを使って証明してみるのも、理解を深めると思います。
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回答ありがとうございます。 早速、中学生向け参考書を買ってきます。
- naniwacchi
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交点を結んだ直線を基準に考え、垂線とか垂直二等分線とかの「作図」をイメージすればよいかと。
お礼
回答有難うございます。 たしかにそうですね。
お礼
回答ありがとうございます。 整然としていてわかりやすい解説有り難うございます。 理屈上はわかりました。 もう少し演習を積んでおきたいと思います。