回転する直線と円との交点から原点までの距離

質問

xy平面上に直線
y=ax
と円
(x+a)^2+(y+b)^2=R^2　
があり、点p1(A,B)とp2(C,D)で交わっている。{A＞C}
点p1から原点までの距離をLとする。

初期状態でy=0の直線が原点を中心に反時計まわりに0°～360°まで回転した時、L（θ）はどのようになるか？
A(θ)、B(θ)もあわせて答えよ。θは回転角度とする。

これを解きたいのですが、どなたか賢い方教えていただけませんか？
ちなみにこの円は原点を常に内側とする{R>√(a^2+b^2)｝円です。

回答No.6

info22

#4,#5です。

A#5の補足について
A#5の解は以下の条件のものです。

>点p1(A,B)とp2(C,D)で交わっている。{A＞C}　…(●)
>点p1から原点までの距離をLとする。

つまり、θが0°→90°までと270°→360°までは初期状態でのp1(A,B)
であったものが、この範囲を超えるとp1(A,B)が第一象限→第二象限に、あるいはp2(C,D)が第三象限→第四象限に移るのでA>Bによるp1(A,B)とp2(C,D)の点の定義から、p1がp2に、p2がp1に入れ替わるので、
L(θ)の式も、θ=90°、270°を境に切り替わります。
すなわち、A>Cと問題で定めているので、p1(A,B)は、第一象限・第四象限の点であり,p2(C,D)は第二象限・第三象限の点であることになり、直線が垂直(x=0)となる所で点が入れ替わるので、L(θ)の式もO-p1の式とO-p2の式が入れ替わります。

従って、L(θ)の式が0°≦θ≦90°,270°≦θ≦360°の場合と
90°≦θ≦270°の場合で異なる式になります。

しかし、A#5の補足で

>問題の条件に間違いがありました。
>{A>C}が成り立つのは初期状態y=0の場合でした。
>初期状態でp1がｘ軸の正側にあります。
と「A>C」がθ=0°の時に限った条件（定義）と変更されると
p1とp2の入れ替えをしないで、θの値によってA<Bともなる …(■)
こともおこるので
θ=90°とθ=270°の所でp1(A,B)とp2(C,D)が入れ替わらないので
L(θ)の式も切り替えなくて点p1がθ=0°から円周上を一周して360°まで移動することになります。
このとき点p2はθ=180°から円周上を一周して(360°+180°)移動することになります。この場合は
θ=0°～360°で
L(θ)=-b*sinθ-a*cosθ
　+√{R^2+a*b*sin(2θ)-(b^2)*(cosθ)^2-(a^2)(sinθ)^2}　…(▼)
A(θ)=L(θ)cosθ
B(θ)=L(θ)sinθ
となります。

>を解いて、＃２さんの回答と一致するかは確かめたのですが、一致するまで式変換がたどり着きませんでした。
>逆に＃２さんの答え側からtan(θ)をくだく等で、表記のL(θ)にたどりつかそうとしたのですが、これまたダメでした。

単に質問者さんの計算力の問題でしょう。

>それ以外の範囲が答えが不一致になったので、Excelでの計算ミスも含めて検討してます。
少なくとも僕の方はアニメーショングラフィックソフトでプロットでシミュレートして正しいことは確認済みです。
ただし、質問の問題文どおりの(●)のp1,p2の定義の場合です。

(■)のような条件（定義）のp1,p2に変更されると、p1もp2も円周を一周し、O-p1の距離を表す式の切替えはなくなるので、A#5のθ=90°～270°のL(θ)の式は　O-p1を笑わす(▼)の式になります。

>解が同じで回答が２つあるのはどういうニュアンスなのか気になりました。
質問者さんの質問の問題のp1,p2(A>C)の定義の仕方が２つになる原因ですね。つまり、p1はx＞０領域の点と定義したことになって、θの増加によって、p1とp2の入れ替えが2回起こるためです。

A#5の補足の最後の所で、p1,p2の定義の変更をされています。
変更すればp1,p2の入れ替えが起こらず、L(θ)は1つの式で表されます。
（大きな問題の変更を意味します。問題文の書き方によって結果の解も変わりますので、問題文は正しく書けるようにして下さい。国語力の問題ですね。）

>連立方程式にすればL（θ）が求まる考えたのですがノートが汚くなるだけで、ダメでした。
L(θ)の求め方【A#5の補足の最後の定義の変更の場合】
L(θ)は極座標のr(>)そのものですから p1点の極座標でのrはL(θ)そのものです。
点p1(x,y)の極座標表現は
x=A=Lcosθ
y=B=Lsinθ
p1は円
(x+a)^2+(y+b)^2=R^2　
の円周上の点なので,p1点の座標を円の式に代入して
(Lcosθ+a)^2+(Lsinθ+b)^2=R^2
この式を整理すれば
L^2+2L(acosθ+bsinθ)+a^2+b^2-R^2=0　…(◆)
ここで、R^2>a^2+b^2より、
a^2+b^2-R^2<0
(◆)をL=L(θ)の2次方程式として解けば
解として「O-p1」と「O-p2」
L(θ)=-(acosθ+bsinθ)±√{(acosθ+bsinθ)^2+(R^2-a^2-b^2)}
=-b*sinθ-a*cosθ
±√{R^2+a*b*sin(2θ)-(b^2)*(cosθ)^2-(a^2)(sinθ)^2}
が出てくるので
θ=0°のとき x=A>0となる方の解である「O-p1」をL(θ)（(▼)の方）と
すれば良いでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
懇切丁寧に教えて頂き、恐縮してます。
回答が正しかったことが満足ゆくまで理解できました。

回答No.5

info22

#4です。
以下のようになります。
極座標でプロットすれば、p1(A,B)がやL(θ)が
(x+a)^2+(y+b)^2=R^2 (R>√(a^2+b^2)
のx≧0の円周上で移動しますので多分正しいでしょう。
なぜ以下のような式になるかは、他力本願でなく、自分で計算してして
見てください。

0°≦θ≦90°,270°≦θ≦360°の場合
L(θ)=-b*sinθ-a*cosθ+√{R^2+a*b*sin(2θ)-(b^2)*(cosθ)^2-(a^2)(sinθ)^2}
A(θ)=L(θ)cosθ
B(θ)=L(θ)sinθ

90°≦θ≦270°
L(θ)=-b*sinθ-a*cosθ+√{R^2+a*b*sin(2θ)-(b^2)*(cosθ)^2-(a^2)(sinθ)^2}
A(θ)=L(θ)cosθ
B(θ)=L(θ)sinθ

分からなければ、自分でやった計算を補足に書いた上で、その先のどこで行き詰って分からなくなっているのかを補足質問するようにしてください。

補足

極座標がでてきたので、
http://okwave.jp/qa2274440.htmlと
http://cfv21.web.fc2.com/cfv21/math/polarcrds.htmの

参考に
極座標表示で
円:(x+a)^2+(y+b)^2=R^2 を
r{r-2lrcos(θ－β)｝+l^2=R^2
に、直線:y=ax+bを
θ=γにし
連立方程式にすればL（θ）が求まる考えたのですがノートが汚くなるだけで、ダメでした。
｛円の中心Cを(l,β),任意の点を(r,θ)γの説明は省略｝

表記のL(θ)
L(θ)=-b*sinθ-a*cosθ+√{R^2+a*b*sin(2θ)-(b^2)*(cosθ)^2-(a^2)(sinθ)^2}
を解いて、＃２さんの回答と一致するかは確かめたのですが、一致するまで式変換がたどり着きませんでした。

逆に＃２さんの答え側からtan(θ)をくだく等で、表記のL(θ)にたどりつかそうとしたのですが、これまたダメでした。

Excelでプロットして二つの式を比べると0<θ<90°と270<θ<360の範囲で答えが一致したので＃２さんと＃４さん2名の答えが正しいことはわかりました。それ以外の範囲が答えが不一致になったので、Excelでの計算ミスも含めて検討してます。

回答を見るとL(θ)が先に求まって、その次にA(θ)、B(θ）が求まったような印象を受けるのですが実際どうなんでしょうか？

0°≦θ≦90°,270°≦θ≦360°の場合と
90°≦θ≦270°の場合で

解が同じで回答が２つあるのはどういうニュアンスなのか気になりました。

この問題は宿題ではないので、解き方の過程よりも、得られた解の性質的な
ものを見る方が重要になってます。

追記なのですが、
問題の条件に間違いがありました。
{A>C}が成り立つのは初期状態y=0の場合でした。初期状態でp1がｘ軸の正側にあります。

回答No.4

info22

>初期状態でy=0の直線が原点を中心に反時計まわりに0°～360°まで回転した時、
y=ax,
a=tanθ（θ=0°～360°)…(●)
とし
(x+a)^2+(y+b)^2=R^2　
この式のaも(●)であればこのθの範囲で

> この円は原点を常に内側とする{R>√(a^2+b^2)｝円です。
の条件が成立しません。

(x+tanθ)^2+(y+b)^2=R^2
の円内に原点が常に存在するわけではないので、
問題が正しくないですね。

たとえばθを90°付近や270°付近の値にすると
|a|>>R
となるので
R>√(a^2+b^2)
が成立しません。

補足

回答ありがとうございます。

指摘のあった点なのですが、「９０°または２７０°回転させた場合はx=0が成り立つ。」と追記させて下さい。
「円の内側に常に原点が存在」の条件の優先を願います。

よろしくお願いします。

回答No.3

noname#121811

＃２です。補足します。
＃１を読むと確かに直線の傾きと円の中心のｘ座標が同じaですね。
感覚的に、問題文の間違えっぽいですがどうでしょうか？＃２で大筋はわかる筈なので、後はテキトーに修正なり変形なりして下さい。

お礼

至らぬ質問の背景を汲み取って頂き、助かりました。

B=aA　や　点P1は常にy軸より右側つまりA>0　、２次方程式の解の公式
等断片的に、解き方はおもいついていたのですが、自分でまとめると
答えに至らず困ってました。無理やり答えをだしたのですが解が冗長的で信ぴょう性が薄いんじゃないかとの疑いがあっただけに、＃２さんの解き方、筋はたいへん参考になりました。

直線の対称性で考えるθの範囲を制限する発想はなかったので質問をしたかいがありました。今日いっぱい出てきた答えとにらめっこしてみます。
ありがとうございました。

回答No.2

noname#121811

図形を考えると、点P1は常にy軸より右側つまりA>0と判ります。
交点を求めて、ｘ座標がプラスの方を選べばいいのです。
y=ax
(x+a)^2+(y+b)^2=R^2　
２式を連立させてAを求める。２次方程式の解の公式より求めると
A=[-a(b+1)+√{a^2(b+1)^2-(a+1)(a^2+b^2-R^2}]/(a+1)
B=aA=(省略)

さらにa=tanθなので総合して答えを書くと
答え
L(θ)=√{A(θ)^2+B(θ)^2}
ただし
A(θ)=[-tan(θ)(b+1)+√{tan(θ)^2(b+1)^2-(tan(θ)+1)(tan(θ)^2+b^2-R^2}]/(tan(θ)+1)
B(θ)=aA(θ)

ここで直線の対称性よりθの範囲は０<θ<90,270<θ<360まで考えればよい。それ以外のθの場合は、
90<θ<180→θに180プラスする
180<θ<270→θから180マイナスする

ややこしいのはθの範囲表現だけです。宿題でないのでしたら、図形より-90<θ<90のみに限定し他は無視すればいいOKです。

補足

回答ありがとうございます。
これから、ひも解いてみます。
一通り整理できたら改めて、コメントさせてもらいます。

回答No.1

Tacosan

問題がそもそもわかりません. 曖昧すぎます.
「直線 y=ax と円 (x+a)^2 + (y+b)^2 = R^2 の交点」の直線と, 「y=0の直線が原点を中心に反時計まわりに0°～360°まで回転した時」の直線の関係がわかりません. また, ただちにわかりますが 90度あるいは 270度回転させたときには y=ax という形で表すことができないのですが, それは除外して考えるということですか?
直線 y=ax と円 (x+a)^2 + (y+b)^2 = R^2 の交点とありますが, 直線の傾きの a と円の中心を表す a は同じものですか? 同じとすると直線を回転させたときに a の値が変わるのですが, これにともなって円の中心も動くのですか? そのとき, b や R は変わるのですか? 変わらないのですか?

補足

回答ありがとうございます。ご指摘の件、ごもっともでした。

・９０°回転させた時y=axと表せない件
　９０°または２７０°回転させた場合はx=0になります。

・aの表記が直線、円、両方に使用されている件、
　たしかにaが同じである時は、問題が生じます。誤記でした。
　私が知りたかったのは直線の傾きaと接点p1のaは別物である場合の
　L（θ）になります。直線の傾きをαで代替して下さい。

　よろしくお願いします。