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大学数学の過去問について
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log₂{log₃(x-1)+log₃(x+7)}<1 真数条件より x-1>0, x+7>0 ∴x>1 ―――(ア) 更に注意すべきは、 {log₃(x-1)+log₃(x+7)} 自体もまた log₂ に対する真数となっているので、 {log₃(x-1)+log₃(x+7)}>0 も真数条件としなければならない。 見やすくするために、 {log₃(x-1)+log₃(x+7)} =A と書くと、A>0 ―――(イ) 真数条件(ア)(イ)のとき、本問は、 「log₂A<1 を満たす xを探せ」となる。これは、 log₂A<log₂2 と同じ。 【註、1=log₂2】 対数の底=2 >1より、対数の値の大小は真数の大小と同じになるから A<2 ここに、(イ)を考慮して、結局、 0<A<2 を解くことになる。 0=log₃1 、 2=log₃9 だから、 0<A<2 は、 log₃1<A<log₃9 となり、 Aを元の式に戻して書くと、 log₃1< log₃(x-1)+log₃(x+7) <log₃9 即ち log₃1< log₃{(x-1)(x+7)} <log₃9 対数の底=3 >1 より、対数の値の大小は真数の大小と同じになるから 1< (x-1)(x+7) < 9 これは次の2つの連立不等式 (ウ)(エ)だから、 1<(x-1)(x+7) ―――(ウ) (x-1)(x+7)<9 ―――(エ) (ウ)を解いて、 x<-3-√17 または -3+√17<x (エ)を解いて、 -8<x<2 この両者の共通部分が連立の解だから、最初の条件(ア)を考慮して、 結局、 -3+√17< x< 2 ―――最後の答。 ―――――――――――――――――――― 注意 -3+√17=1.1230.... であり、1よりわずかに大きい値です。 1<x とヒッカケさせる、この問題は、そこがミソでしょう。 イヂワル問題でした。 なお、info22 さんの解答は、左端の log₂ が考慮されてなく、 log₃ と混同していると思われます。 (検算してないので、計算ミスがあったら御免。方針は間違って無いはずです)
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- alice_44
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A No.3 を、よく読んだほうがいい。
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
>No.2です。 ANo.2にミスがありましたので訂正します。 > x>1 >log₃(x-1)+log₃(x+7)=log₃((x-1)(x+7))<1=log₃(3) ←ミス 正:log₂{log₃(x-1)+log₃(x+7)}=log₂{log₃((x-1)(x+7))}<1=log₂(2) 対数の底2>1より対数の大小は真数の大小となるから log₃((x-1)(x+7))<2=log₃(9) >対数の底3>1より対数の大小は真数の大小となるから (x-1)(x+7)<9 >0<(x-1)(x+7)<3 ...× 正:(x-1)(x+7)<9 括弧をはずして >x^2+6x-10<0 ...× 正:x^2+6x-16=(x-2)(x+8)<0 x>1より x+8>0であるから x-2>0 > ∴1<x<3+√19 ...× x>1より 正 ∴ 1<x<2 ←(答え) #nyankororingさん指摘ありがとう。 2重logを(底がよく見えなかったこともあり)うっかり1重logと勘違いしてました。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
log[2]{ log[3](x-1) + log[3](x+7) } < 1 なんですか? 依然「?」が何かは、ウチでは見えないけど… だったら、前述の如く ⇔ x-1 > 0 かつ x+7 > 0 かつ log[3]{ (x-1)(x+7) } < 2^1 ⇔ x-1 > 0 かつ x+7 > 0 かつ (x-1)(x+7) < 3^2 ですね。 (x-1)(x+7) < 3^2 ⇔ x^2 + 6x - 7 < 9 ⇔ x^2 + 6x - 16 < 0 ⇔ (x+8)(x-2) < 0 ⇔ -8 < x < 2 だから、答えは x-1 > 0 かつ x+7 > 0 かつ -8 < x < 2。 すなわち、1 < x < 2。 …じゃないか、log[2] の真数条件 log[3](x-1) + log[3](x+7) > 0 がある訳ね。 ええ、引っかかりましたとも。 どこの過去問かな…
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
log₂{log₃(x-1)+log₃(x+7)}<1 真数条件より x-1>0, x+7>0 ∴x>1 x>1のとき log₃(x-1)+log₃(x+7)=log₃((x-1)(x+7))<1=log₃(3) 対数の底3>1より対数の大小は真数の大小となるから 0<(x-1)(x+7)<3 x^2+6x-10<0 x>1より ∴1<x<3+√19 ←(答え)
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
その書き方だと、log の底が文字化けして読めないのだけれど… 真数条件を考慮して ⇔ x-1 > 0 かつ x+7 > 0 かつ log?( log?( (x-1)(x+7) )) < 1 ⇔ x-1 > 0 かつ x+7 > 0 かつ (x-1)(x+7) < (?の?乗) と変形し、二次不等式を解けばいい。
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