体積

質問

長さ25cm、幅10cmの厚紙の四隅から一辺ｘｃｍの正方形を切り取り、四辺を折り曲げて箱を作るとき、その体積が175cm^3以下となるｘの値の範囲を教えてください。

回答No.1

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箱の体積をV=f(x)(cm^3)とおくと
箱の底面の長さは両方の端をx(cm)ずつ折り曲げるので(25-2x)(cm)となります。また箱の底面の幅は両方の端をx(cm)ずつ折り曲げるので(10-2x)(cm)となります。この時箱の底面の長さと幅は共に正で、切り取る幅xも正まので　0<x<5 でなければいけません。　
体積Vは底面積×高さxで計算できるので
　V=f(x)=(25-2*x)(10-2x)x (0<x<5)
　f(x)=4x(x-5)(x-12.5) (0<x<5)
0<x<5(cm)の範囲で
　y=f(x)≦175(cm^3) ...(※)
となるxの範囲を求めればよい。

f(x)=4x(x-5)(x-12.5)より
f(0)=0,f(5)=0であり、0<x<5でf(x)>0なので
f(x)は0<x<5で極大値をもつ。
f(2)=252>175なので
y=f(x)とy=175は0<x<5の範囲に交点を2つ持つ。
（添付図のグラフ参照）
2つの交点A,Bのx座標をa,b(0<a<b<5)とすると
(※)の解は
　0<x≦a, b≦x<5 ...(◆)
となります。
a,bは
　4x(x-5)(x-12.5)=175 (0<x<5)
を解けば得られます。式を整理すると
　4x^3-70x^2+250x-175=0 (0<x<5) ...(☆)
これはカルダノの公式を使えば解けますが、非常に複雑な式になります
ので省略します。
３つの解のうち1つは12<x<13にあり0<x<5の外にありますので除きます。他の2つは　1/2<x=a<1, 3<x=b<4　(添付図のグラフ参照)の範囲にあります。
(☆)の左辺をg(x)とおいて
y=g(x)とx軸の交点のx座標がa,bなので
ニュートン法よる数値計算でa,bを求めます。
初期値（大まかなaの近似値）x0=1として計算すると x=a≒0.929(cm)
初期値（大まかなbの近似値）x0=3.5として計算すると x=b≒3.644(cm)
となります。0.1(mm)までの有効数字の答えるなら
(◆)の範囲で境の端数の切り上げ、切り捨て等号を除いて
(答え) 0<x<0.93(cm), 3.64<x<5(cm)
となります。

参考URL：

http://www.kkaneko.com/pro/kougi11.pdf