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極限値について
問題で1辺が12cmの正方形の厚紙がある。その4すみから、1辺がXcmの合同な正方形を切り取りとり、残りを折り曲げてふたの無い箱を作る。この箱の容積を最大にするにはXの値をいくらにすればよか。式にすると Y=X(12―2X)2乗=4(X^3乗ー12X²乗+36x)Y’=4(3X²乗ー24X+36)=12(X²乗ー8ⅹ+12)=12(ⅹ-2)(x-6) Y’=0となる値は X=2、6となり 0<ⅹ<6の範囲で増減表を作るのに 極大の出し方が解りません。この場合のf(X)は 128になると本に書いてあるのですが どれに当てはめれば128の極大になりますか? 教えてください…サッパリ 解りません 長くて すいません
- mikeoi
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そこまでできていれば、あと一息ですよ! Xの2乗は、X^2 で表します。(3乗も同様) Y' =12(x-2)(x-6) で、x=2,6 で極値をとります。 1辺12cmの正方形から箱を作るので、切り取る部分の正方形の1辺の長さは元の半分6cm未満でなければならない。 なので、0<x<6 なんですね。 あとは、定義域の端である、X=0,X=6と極値を取るX=2,X=6(今回はたまたまX=6が共通)のときのYの値を調べて増減を考えればいいのです。 Y=f(x)=X(12-2x)^2とすると f(0)=0(12-2・0)^2 =0 f(2)=2(12-2・2)^2 = 2・8^2 =128 f(6)=6(12-2・6)^2 =0 ですから、増減表を書くと x 0 2 6 y 0 ↑ 128 ↓ 0 となり、x=2 で極大ということが分かります。
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- osumitan
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f(x)=x(12-2x)^2としたとき、f'(x)=0となる点が極大/極小です。 f(x)のグラフを考えたとき、f'(x)はxにおけるf(x)の傾きですから、 f'(x)=0となる点が極大/極小と考えられます。 以下、計算をすると、 f(x) =x(12-2x)^2 =4x^3-48x^2+144x f'(x) =12x^2-96x+144=0 x^2-8x+12=0 (x-2)(x-6)=0 x=2,6 となり、x=2とx=6の点が極大/極小であることがわかります。 また、極大/極小の前後の点を任意に抽出すると f'(1)=60>0 f'(4)=-48<0 f'(8)=144>0 のようになるので、x=2に向かって右肩上がり、x=2からx=6の間で右肩下がり、 再びx=6を越えて右肩上がりという傾きを示すことがわかるので、 x=2が極大、x=6が極小であることもわかります。
- Kurouto
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え?普通に考えて、3Cmの正方形をきりとんじゃないの?
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お礼
早くの解答 ありがとう御座いました。 とても 分かりやすく理解できました。同様の問題もこれで 解く事ができます。ほんとにありがとうございました。