広義積分

質問

(sinx/x)^2を0→∞で
広義積分するのですが、どのように
計算していったらいいのかおもいつきません。

教えて下さい。

回答No.3

stomachman

こういう手もあるのでは？

　不定積分を
　　J(x) = ∫ ((sin(x)/x)^2)dx
とおくと
　　(d/dx)((sin(x)^2)/x) = (2x sin(x) cos(x) - sin(x)^2) / (x^2)
から
　　J(x) = ∫(2x sin(x)cos(x) / (x^2))dx - ((sin(x)^2)/x)
　　 = 2∫(sin(2x) / (2x))dx - ((sin(x)^2)/x)
最初の項は残念ながら初等関数では表せず
　　Si(x) = ∫ sinc(x) dx, Si(0) = 0
　　sinc(x) = (sin(x))/x
を使って
　　J(x) = Si(2x) - (sin(x)^2)/x + C
となる。 (sin(x)^2)/xがx→0とx→∞でどうなるかは明らかなので、問題は x→∞ のときの Si(x)に帰着されます。

　さて、sinc(x) と言えば、フーリエ変換。というのは、理想的なローパスフィルタ
　　F(ω) = (|ω|<1のとき1, さもなくば0)
の逆フーリエ変換は
　　f(x) = (1/(2π))∫{ω=-∞～∞} F(ω)exp(iωx) dω
　　= (1/π)∫{ω=0～1} cos(ωx) dω
　　= (1/(πx))∫{t=0～x} cos(t) dt
　　= (1/π)(sin(x)/x) = (1/π)sinc(x)
であり、従って(1/π)sinc(x)のフーリエ変換は
　　F(ω) = ∫{x=-∞～∞} (1/π)sinc(x) exp(-iωx) dx
である。
　なので、
　　1 = F(0) = ∫{x=-∞～∞} (1/π)sinc(x) dx = (1/π) lim{x→∞} (Si(x) - Si(-x))
そしてSiは偶関数
　　Si(x)=-Si(-x)
だから
　　1 = (2/π) lim{x→∞} Si(x)

お礼

わかりやすい解答ありがとうございます。