数学II計算

質問

（x³＋x-1/x)⁹　のxの項の係数の求め方を教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

あ、ホントだ。しまった。
z = -1/x で、マイナスがついているから、
c が奇数だと、係数にもマイナスがつく。

答えは、
9!/(0! 5! 4!) - 9!/(1! 3! 5!) + 9!/(2! 1! 6!)
= -126 か。

回答No.2

info22_

(x^3+x-(1/x))^9=((x^4+x^2-1)^9)/(x^9)
のxの項の係数は
　(x^4+x^2-1)^9
のx^10の項の係数に等しいから
　9C2*7C1*(-1)^6+9C1*8C3*(-1)^5+9C0*9C5*(-1)^4
=9!/(2!*7!)*7-9*8!/(3!*5!)+9!/(5!*4!)
　=-126
Ans.-126

回答No.1

alice_44

公式暗記の問題。

多項定理の 3 項の場合：
(x+y+z)^n = Σ {n!/(a! b! c!)}(x^a)(y^b)(z^c).
ただし、Σ は、a+b+c=n となる非負整数 a,b,c の
組み合わせに関する総和。
参考→ http://www3.ocn.ne.jp/~fukiyo/math-obe/takou.htm

これを使って、
(x^3 + x - x^-1)^9 = Σ {n!/(a! b! c!)} x^(3a+b-c).
a+b+c=9 かつ 3a+b-c=1 となる組み合わせは、
(a,b,c) = (0,5,4), (1,3,5), (2,1,6).　　←[*]

よって、x^1 項の係数は、
9!/(0! 5! 4!) + 9!/(1! 3! 5!) + 9!/(2! 1! 6!)
= 9・2・7 + 9・8・7 + 9・4・7
= 882.

[*] を求めるには、
a+b+c=9 と 3a+b-c=1 から c を消去した式 2a+b=5
を満たす a,b を考えればよい。