コリオリ力に関して。

質問

図のように、一定の角速度ωでＯ点を周りを回転する円板の上で、Ａ点からＯＡとαの角をなす方向へ速度Ｖで単位質量の物体を滑らし、微小時間tに物体はＥ点に位置し、Ａ点にいる観測者はＡ’点に移動する。Ａ’にいる人は物体がＳ点にあることを期待するが実際は点にある。ここで、∠ＳＡ’Eと距離ＳＥを式で表せ。物体と円盤の距離は考慮しない。

という問題なのですが、三角形Ａ’ＯＡが二等辺三角形であることと∠Ａ’ＯＡ＝ωｔより、

∠ＥＡ’Ａ＝（90°-ωｔ/2）＋α＋∠ＳＡ’E

また、

180°-（∠ＯＡＡ’-α）＝180°-(90°-ωｔ/2 -α)=∠ＥＡ’A

より、∠ＳＡ’E=ωｔ　

よって、三角形ＥＡ’Sが二等辺三角形あることとＥＡ’がvtより、

ＳＥ＝2vtsinωｔ/2

と求めたのですが、使っている条件などで間違っているものはありますでしょうか？

また、ＳＥを生じさせた見かけの力がコリオリ力であるが、単位質量にかかるコリオリ力の大きさＦを式で表せ、というのが次の問題なのですが、先の問題で求めたＳＥを使って求めるということなのでしょうか？
その場合、どのようにやればよろしいのでしょうか？

回答よろしくお願いします。

回答No.4

hitokotonusi · ベストアンサー

＞コリオリ力の大きさは図の円盤上の平面に関して、vが等しい場合、αやrに依存しないということで合っていますでしょうか？

依存しません。
詳細は省きますが，この例のような平面運動の場合，コリオリ力の大きさはいつでも2mωvです。方向は速度ベクトルに垂直右向き(質問中の図のような配置である場合)。

>ＳＥを使って、コリオリ力を導くというわけではないのですね。

念のため，出題者に意図を確認してください。遠心力の効果は無視できることをあらかじめ折り込んでいるのかもしれません。

お礼

回答ありがとうございます。

依存しないのですね。すっきりしました。

確かに遠心力を無視していれば、SEを時間で二階微分したものとコリオリ力が同じであるということですね。

ありがとうございました、大変勉強になりました。

回答No.3

hitokotonusi

＞ここで、∠ＳＡ’Eと距離ＳＥを式で表せ。

これですが、微小時間という事なので、回転により加えられるAA'に等しい初速rωの寄与は無視すると、SとEの差はOAとOA'の回転による効果だけなので、∠ＳＡ’Eはωtに等しい。

また、同じく微小時間という事なのでSEは半径がA'E = Vt、角ωtの円弧の長さで近似できるので、
SE = (Vt)(ωt) = vωt^2。

なので、ここまでは合っています。

＞ＳＥを生じさせた見かけの力がコリオリ力であるが

SEを求めたこの問題の意図が今ひとつ不明ですが、SEを生じさせるのは遠心力とコリオリ力の両方なので、SEからではなく直接コリオリ力を求めた方が良かろうと思います。

外力が働かない等速回転の回転座標系の運動方程式は

m ax = m ω^2 x + 2mω vy
m ay = m ω^2 y - 2mω vx

右辺第一項が遠心力、第二項がコリオリ力です。

OA方向にx軸をとると、打ち出した瞬間は

x = r, y=0, vx = -V sinα, vy = V cosα

なので打ち出した瞬間の運動方程式は

m ax = mrω^2 + 2mωVcosα
m ay = 0 + 2mωVsinα

それぞれの第二項がコリオリ力のx,y成分で大きさは2mωV。
単位質量あたりという事なので、mで割って、 F = 2ωV。

SEの長さを出すために、微小時間という事なので加速度ax, ayの等加速度運動で近似すると、
Eの座標は

x(t) = r - Vt sinα + (1/2)r(ωt)^2 + (ωt)(Vt) cosα
y(t) = 0 + Vt cosα + 0 + (ωt)(Vt) sinα

これまでにωt<<1という近似を使っているので、
ωtの２次である遠心力の寄与は無視することができるので、

x(t) = r - Vt sinα + (ωt)(Vt) cosα
y(t) = 0 + Vt cosα + (ωt)(Vt) sinα

遠心力、コリオリの力を考慮しないのがSなのでSの座標は

x'(t) = r - Vt sinα
y'(t) = 0 + Vt cosα

したがってSEの長さは

SE = √[ (x-x')^2 + (y-y')^2 ] = ωVt^2

で前に求めたものと一致しています。

お礼

このような素晴らしい回答と丁寧に訂正までしていただいたことにとても感激しております。

摩擦に関してなのですが、考慮しないことになっています、自分の入力ミスです。

ＳＥが正しく求められていたと分かり安心しました。

＜SEを求めたこの問題の意図が今ひとつ不明ですが

ＳＥを使って、コリオリ力を導くというわけではないのですね。
運動方程式からＳＥの確かめを行うことまでしていただきありがとうございます。

ここで、よろしければ次の質問にお答えしていただきたいのですが、
コリオリ力の大きさは図の円盤上の平面に関して、vが等しい場合、αやrに依存しないということで合っていますでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.2

hitokotonusi

ANo.1です。失礼しました。ANo.1はすべて撤回します。

＞Ａ点からＯＡとαの角をなす方向へ速度Ｖで

というのは、静止系ではなく、回転系でみて角度α速度Vですね。
このため、静止系では打ち出した時にAA'方向に速度rωを持っているので、
この成分により物体はS'からEまでの移動が付け加わるという事で、問題は正しそうです。

取り急ぎ、取り消しだけしておきます。

回答No.1

hitokotonusi

これ問題は正しいですか？

この問題が摩擦などの外力を考慮しているかどうか不明ですが、
まず、わかりやすくするために摩擦は働かない、かつ、α＝０とします。
するとAからOに向かって滑った物体は線分OA上をOに向かって移動します。
この間に観測者はAからA'に移動しているので、観測者はOA'の方向がOに向かってまっすぐな方向と認識しますが、
実際の物体は線分OA上にあるわけですから、A'の人からみるとOに向かって見て左に曲がっていったように見えます。この、物体の運動を曲げてみせる見かけの力がコリオリ力です。

この例からわかるように、円板が回転していると、円板と一緒に動いている人からはコリオリの力によって円板の回転とは逆方向に曲げられているようにみえるはずです。

つぎに、上と同様に摩擦などの外力を考えないことにしてOAからαの角の方向に物体を滑らせたとすると、
摩擦がないのでそのまま直進してS'の位置に到達します。
その間にA'に移動した観測者はOA'の方向から角αで滑らせたと思っているので、
添付図のSに到達する事を期待します。
しかし現実の物体はS'にあるわけですから、A'の人からみるとなにか力が働いてSに到達するはずの物体がS’に到達したようにみえるはずです。このための力の一部がコリオリ力になります。
この場合でもやはり、A'の人から見て物体は円板の回転方向とは逆方向にズレています。

以上を踏まえて問題に戻ると、SからEヘというのは円板の回転方向と同じ側にズレていますから、これはコリオリ力ではありません。
また、摩擦等が働かなければS'に到達するはずの物体がE点に到達しているわけですから、
摩擦か何かなんらかの外力が働いているはずで、この外力下の運動では観測者が期待する物体の位置はSではなく、さらに先の点E'で、E'からEへ物体を動かすようにみえる力の一部がコリオリ力です。

もう一度問題を見直してください。もし問題がこのとおりなら、出題者に問い合わせてください。