フーリエ変換の問題

質問

（1）以下の式で表される方形パルス信号 x(t)
のフーリエ変換を求め、その概形を図示せよ。

f(x)= -1 (|t|<1/2)
0 (|t|>=1/2)

（2）ある連続信号x(t)が図のように与えられているとき、以下の信号を図示せよ。
ただし u(t)は単位ステップ関数とする。
(1)x(t)u(t)
(2)x(t){u(t－1)－u(t－2)}

という問題です。

問(1)は自分で解いたら

F(ω)=(1/iω)exp(-iω/2)

という答えが得られましたが、この中にiが含まれているので、概形の書き方は分かりません。

問(2)も似たような感じで信号の書き方は分かりません。

この問題の解き方が分かる方がいらっしゃいましたら、ご指導お願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

f(x)＝…の訂正をちゃんと補足に書くようにしてください。
質問者が問題文を訂正しない限り間違った誤った問題が正式の質問となったままです（質問者の恥がネット上に晒されたままになります）。そして
誤った問題に対して、回答者の回答は誤った問題に対する回答となり、無意味になります。
つまり
[1]は
f(x)= -1 (|t|<1/2)
0 (|t|>=1/2)
のf(x)？の定義はtで場合分けとなっていますので
訂正のない問題での正しい回答は、「フーリエ変換不能」となります。
「
x(t)= -1 (|t|<1/2)
　　=0　 (|t|>=1/2)
」
と補足で訂正を必ず書く。
そうすれば、回答者の解答も生きて来ます。
フーリエ変換の定義式の変数x(t)と変換X(ω)の変数ωの式がめちゃくちゃですので
>X(t)=∫[-1/2→1/2](-1)exp(-2πtix)dx
の式を書いた時点で「×」が付きます（全然フーリエ変換が分かっていない意味で）。tとxとωとfの使い分けがまったくできていません。
フーリエ変換の定義式を今一度確認しておいて下さい。

「ttp://ja.wikipedia.org/wiki/フーリエ変換」

（本文で直リンクはしていけないので先頭のhは省いてあります）
の表の中の「非ユニタリ・角周波に関するフーリエ変換」の定義が質問者さんの答えに対応するかと思います。
また
「ttp://hooktail.sub.jp/fourieralysis/Fourier/」
の(3-1),(3-2)の定義式も同じωを使った定義です。

フーリエ変換後の変数として角周波数ωを使う場合は
フーリエ変換の定義式として
>X(t)=∫[-1/2→1/2](-1)exp(-2πtix)dx　←×
フーリエ変換の定義は
X(ω)=∫[-∞→∞] x(t)exp(-iωt)dt
を使います。
この定義式に訂正した次のx(t)の定義式を代入
x(t)= -1 (|t|<1/2)
　　=0　 (|t|>=1/2)
して
X(ω)=∫[-1/2→1/2](-1)exp(-iωt)dt

>={1/(2πit)}[exp(-2πitx)](-1/2→1/2)　←×
>={1/(2πit)}{exp(-πit)-exp(πit)}　　 ←×

=-{1/(-iω)}[exp(-iωt)](-1/2→1/2)
=-{1/(-iω)}{exp(-iω/2)-exp(iω/2)}
=-(2/ω){exp(iω/2)-exp(-iω/2)}/(2i)

オイラーの関係式
sin(θ)={exp(iθ)-exp(-iθ)}/(2i)
を用いると

=-(2/ω)sin(ω/2)

となります。

以下tは使ってはいけません。
(tとxとωが使い分けられていない意味で)
>={1/(2πit)}(cos(πt)-isin(πt)-cos(πt)-isin(πt))
>={1/(2πit)}(-2isin(πt))
>=-(1/πt)sin(πt)

>よって
>X(ω)=-(2/ω)sin(ω/2)　になります。

結果の答えはこれで合っていましたね。
失礼しました。

この答えが出たとしてもフーリエ変換の定義式や計算のところで
フーリエ変換をまったく理解していないとして
0点評価となってしまいます。
定義を今一度確認しておきましょう。

参考URL：

http://hooktail.sub.jp/fourieralysis/Fourier/

お礼

質問文を訂正いたします。

誤: f(x)= -1 (|t|<1/2)
=0 (|t|>=1/2)

正: x(t)= -1 (|t|<1/2)
　　 =0　 (|t|>=1/2)

補足

訂正してくれと仰ったところはそこだったですね。
私は試験の過去問の問題文をそのまま移した形になってますが
最初はこれを元にインターネットでいろいろ調べましたが、
ちょっとおかしいなと思いつつも、自分には知識がないからと
割り切って問題文を疑うことができませんでした。

本当にいろいろ勉強になりました。
ありがとうございました。

回答No.2

info22_

No.1です。

>この回答へのお礼の所の質問について
本来は補足をつけて回答者の回答に対して質問をつけます。
お礼を付ける方は、質問者の問題に対して、解決に役立った、解決したことに対するお礼を書きます。本来は各回答者の回答には、役立とうが役立たなかっても、形だけのお礼でも、全ての回答に、お礼を書くのが礼儀（折角回答しても何のお礼もなく質問を閉じてしまうことを繰り返すと、次回質問しても回答がもらえなかったりします）かと思います。また問題が解決したら、ベストアンサーを選んで（その中で選ばないで終了させる選択肢もある）速やかに質問を閉じましょう。でないと、色々な回答や意見が、際限なくつ着続けることがあります。各回答の選択肢体は、お礼と補足のそれぞれについて一回ずつ書き込めます（合計二回）。ベストアンザーを選ぶと、質問が閉じられてしまうので、後からお礼や補足は書き込むことができなくなりますので注意ください。

>実は問題を補足する仕方が分からないです。前から自分のスレに「補足」というリンクをずっと探してる
のですが、見つかりませんでした。

各回答者の回答の終りの次に以下のように、質問者のみ、３つの選択肢が選べ、回答者への「補足を書く（問題の訂正ややった途中計算と行き詰まった箇所にたいする質問などを書き込む）」をつけたり、「お礼（解決した場合など）」をつけたり、「ベストアンサー（最も的確な回答者の回答をベストアンサーに選んだり、ベストアンサー該当ない場合はそのまま質問を閉じるを選ぶ）」に選べば質問は解決済みで終了または、再投稿のため質問を一旦閉じ終了します。一旦、質問を終了させると、お礼や補足も書き込めなく質問が完了となって閉じられます。「ベストアンサー」の選択は、全ての「お礼」や「補足」を書き終わり、問題が解決または打ち切る、といった質問を閉じる最終手続きとして行ってください。各回答者の回答の末尾に以下の選択肢が用意されています。

------------------------------------
[質問者のみ] [この回答をベストアンサーに選ぶ] [この回答に補足をつける] [この回答にお礼をつける]
------------------------------------

>計算のほうですがinfo22さんと1うだけ違っていたところがあります。
>[1]のところです。
>私が出した答えはX(ω)=-(2/ω)sin(ω/2)でした。
>問題文では|t|<1/2においてf(x)= -1なので X(ω)=-(2/ω)sin(ω/2)ではないかと思いますが...

答えだけ書かないで途中計算の式変形を書きましょう。
私の計算結果は、手計算と数式処理ソフトで正しいことを確認済みですので、おそらく質問者さんの計算過程のどこか（多分オイラーの公式を使ったあとの虚数単位iの計算の所?）で計算ミスをしているのでしょう。

どこで間違ったのかは、途中計算を書いてくれてないのでチェックできません？

なお、質問の問題ミスを見つけたり、ミスの指摘を受けた場合は、必ず、補足やお礼のところで問題の訂正をしておいて下さい。
そうしないと、質問者の恥やいい加減さをネット上に晒したままになるので注意しましょう。誰しもミスはあります。ミスは訂正すれば、恥としてさらされ続けることはありません。

お礼

はい、分かりました。今度から十分注意します。
ありがとうございます。

それでは、自分の計算過程をお書きします。

X(t)=∫[-1/2→1/2](-1)exp(-2πtix)dx
={1/(2πit)}[exp(-2πitx)](-1/2→1/2)
={1/(2πit)}{exp(-πit)-exp(πit)}
　　={1/(2πit)}(cos(πt)-isin(πt)-cos(πt)-isin(πt))
={1/(2πit)}(-2isin(πt))
=-(1/πt)sin(πt)
よって
X(ω)=-(2/ω)sin(ω/2)　になります。

手間をおかけしまして、すみません。
ミスのチェックをよろしくお願いします。

回答No.1

info22_

[質問1]
問の番号と小問の番号に同じ(1),(2)をなぜ使うんですか？
紛らわしいので[1],[2],(1),(2)など書き方に注意。

>(1）以下の式で…
>(2）ある連続信号…
>(1) x(t)u(t)
>(2) x(t){u(t－1)－u(t－2)}
>問(1)は自分で解いたら
>問(2)も似たような…

[質問2]
>方形パルス信号 x(t)…
と書きながら
>f(x)=-1 (|t|<1/2)
> 0 (|t|>=1/2)

とf(x)をtの関数で定義してますが、どういう積もりですか？

>F(ω)=(1/iω)exp(-iω/2)
F(ω)は何ですか？

信号がx(t)ならX(ω)と書くべきでは？

>(1/iω)exp(-iω/2)
どういう計算をしたらこんな式が出てくるのでしょうか？
結果だけ書くのではなく、フーリエ変換の定義式と途中計算を書いてください？間違い箇所をチェックできないだろ！

間違った問題をアップして、訂正もしないで放置しないように？
大学生なら、ちゃんと問題をまともに、正確に書くようにしましょう？

問題を補足で訂正してください。

ヒント
[1]
>この中にiが含まれているので、概形の書き方は分かりません。
オイラーの関係式を使えばiの項は消えます。
でもこれ↓は計算間違い、いけませんね。
>F(ω)=(1/iω)exp(-iω/2) … ×
正しい答えは
X(ω)=(2/ω)sin(ω/2)

[2]ヒント
x(t)のグラフの一部を抜き出せば良い。
つまり
(1)
f(t)=x(t)u(t)とおくと
f(t)=0(t<0)
　　=x(t)(t≧0)
このf(t)のグラフを描けば良い。

(2)
f(t)=x(t){u(t-1)-u(t-2)}とおくと
f(t)=x(t) (1≦t＜2)
　　=0 (t<1,2≦t)
このf(t)のグラフを描けば良い。

お礼

ご解答ありがとうございます。

フーリエ変換についての問題はこれが初めてです。
インターネットでいろいろ調べたのですが、符号の意味はあまりよく分からなくて
解けなかったです。符号の意味を教えていただいたおかげで最後まで一気に解けました。

実は問題を補足する仕方が分からないです。前から自分のスレに「補足」というリンクをずっと探してる
のですが、見つかりませんでした。

計算のほうですがinfo22さんと1うだけ違っていたところがあります。
[1]のところです。
私が出した答えはX(ω)=-(2/ω)sin(ω/2)でした。
問題文では|t|<1/2においてf(x)= -1なので X(ω)=-(2/ω)sin(ω/2)ではないかと思いますが...