複素関数の問題

質問

複素関数の問題をやったことがないです。
この問題はいろいろ考えましたが、どこから手を付ければいいかわかりませんでした。
どなた分かる方、ご教授お願いします。

回答No.6

noname#199771 · ベストアンサー

＞g(τ)=(1/2iτ){expi(τT-τ^2)-exp(-i(τT-τ^2))} (0<=τ<=T)

{(e^(iτ^2))/(2iτ)}[e^{iτ(T-2τ)}-e^(-iτT)]
になりませんか？

計算しなさいという問題なので計算が終わればそれでいいかと。

お礼

同じ結果ですね。
しかし、複素関数の知識も使うかと思いましたよ。
結局全く関係なかったですね。
ありがとうございました。

回答No.5

noname#199771

No.3へのコメントが表示されていなかったのでNo.4を書き
込んでしまいました。大変失礼しました。

＞s(t)=exp(it^2),s*(t)=exp(-it^2)
＞
＞g(t)=∫(-T/2→T/2)exp{i(τ+t)^2}exp(-it^2)dt
＞=∫(-T/2→T/2)expi(τ^2＋2tτ）dt
＞　　=(1/2iτ)[expi(τ^2＋2tτ)](-T/2→T/2)
＞=(1/2iτ){expi(τ^2＋τT)-exp(τ^2-τT)}

画像では積分の上限がγ/2、下限が-γ/2にみえたのですが
それぞれT/2、-T/2なのでしょうか？
また、
s(t)=e^(it^2)(|t|≦γ/2), 0(|t|>γ/2)
と読めたのですが違いますか？

g(τ)を定義する積分の中にs(τ+t)というのがありますよね。
これはsの定義より|τ+t|≦γ/2のときe^{i(τ+t)}^2になりま
すが、|τ+t|>γ/2のとき0になります。

積分区間が[-γ/2,γ/2]ですから、

τ>γのとき
γ/2=γ-γ/2<τ+tとなって|τ+t|>γ/2になるので
s(τ+t)=0です。

τ≦γのとき
-γ/2-τ≦-γ/2≦γ/2-τ≦γ/2です。
[-γ/2-τ,-γ/2)は積分区間の外にあります。
tが(γ/2-τ,γ/2]にあるときは|τ+t|>γ/2なのでs(τ+t)=0です。

したがって

＞g(t)=∫(-T/2→T/2)exp{i(τ+t)^2}exp(-it^2)dt

が間違いで、
g(τ)=∫[-γ/2,γ/2-τ][e^{i(τ+t)^2}]{e^(-it^2)}dt
とならなければなりません。

お礼

実はγとおっしゃるところはTです。
画像が見にくくて、すみません。

あっ、そうですね。範囲は[-T/2,T/2-τ]になるべきですね。
失礼しました。

改めてやったところ

g(τ)=0 (τ>T)
g(τ)=(1/2iτ){expi(τT-τ^2)-exp(-i(τT-τ^2))} (0<=τ<=T)

という結果になりました。
ここからはどう処理すればいいか分かりません。
ご指導お願いします。

回答No.4

noname#199771

どこまでやってみたのか書くつもりがないようなので追記。

τ>γのとき
[-γ/2,γ/2]∩[-γ/2-τ,γ/2-τ]=∅
なので
g(τ)=0

τ≦γのとき
[-γ/2,γ/2]∩[-γ/2-τ,γ/2-τ]=[-γ/2,γ/2-τ]
なので
g(τ)=∫[-γ/2,γ/2-τ][e^{i(τ+t)^2}]{e^(-it^2)}dt

ここまではいいですか？
上記が理解できるかどうか補足に書いてください。

内容が理解できるかどうかどうでもよくてとにかく答え
が欲しいのなら正直にそう書いてください。

お礼

ありがとうございます。

私のやり方は既にNO.3のご解答のお礼のところでお書きしたはずです。
インターネットのエラーかなのか分かりませんが、もう一度書きます。

s(t)=exp(it^2),s*(t)=exp(-it^2)

g(t)=∫(-T/2→T/2)exp{i(τ+t)^2}exp(-it^2)dt
=∫(-T/2→T/2)expi(τ^2＋2tτ）dt
　　=(1/2iτ)[expi(τ^2＋2tτ)](-T/2→T/2)
=(1/2iτ){expi(τ^2＋τT)-exp(τ^2-τT)}

私はこの問題のやり方を理解したいです。授業のレポートとかなんとかのためではございませんので

回答No.3

noname#199771

＞普通の関数の積分みたいにやってみましたが、うまく
＞行きませんでした。

普通の関数の積分なんですが・・・
特に知識はいりませんし。

どう「やってみた」のか補足に書いてもらえませんか？
それをみれば何がわからないのか多分わかりそうなので。

複素積分の定義にあてはめてあとは計算するだけなのです
が、それすらわからないのか、それともその先で詰まってい
るのか。

＞この問題を解くための予備知識として
＞どのへんの勉強をすればいいかということも教えていた
＞だければありがたいです。

関数論の授業には一度でも出席したことあるのでしょうか？
もし授業に出てなくて本も読んだこともないというならまずは
本を読みましょう。

お礼

関数論の授業は私の専攻には入っていません。
事情があってこの問題をやらなければならなかったです。

自分がどうやってやってみたかをお見せします。ご指導お願いします。

s(t)=exp(it^2),s*(t)=exp(-it^2)

g(t)=∫(-T/2→T/2)exp{i(τ+t)^2}exp(-it^2)dt
=∫(-T/2→T/2)expi(τ^2＋2tτ）dt
　　=(1/2iτ)[expi(τ^2＋2tτ)](-T/2→T/2)
=(1/2iτ){expi(τ^2＋τT)-exp(τ^2-τT)}

ここまでやりました。
でも、こんなものだと思いません。複素関数が入ってる以上、きっと
私が知らない知識を使うはずだと考え、質問した次第です。

回答No.2

Water_5

それ以前に、問題文が映りが悪く、読めません。

お礼

ありがとうございました。
問題文が見にくくて、すみません。
そう思われる方はきっとたくさん
いらっしゃるでしょう。
しかし、綺麗な画像を載せようと思ってもGOOには容量制限が
あるので、難しいところです。
今度から画像を二つ分けたりいろいろ試して見たいとおもいます。

回答No.1

noname#199771

どう「いろいろ考えた」のでしょう？

答えを書くのが恥ずかしくなるくらい単純に計算するだけ
の問題です。

悩む場所が想像できないのですが、どこで引っかかった
のか補足に書いてもらえますか？

お礼

確かに仰る通りです。
とても簡単な問題かもしれません。
ただ、私は複素関数について勉強したことがなく、
普通の関数の積分みたいにやってみましたが、うまく行きませんでした。
できれば、この問題を解くための予備知識として
どのへんの勉強をすればいいかということも教えていただければありがたいです。