直交基底

質問

U={(x,y,z,w)∈R^4| x+y+2z+3w=0, 3y+3z-2w=0}, V={(x,,y,z,w)∈R^4| x+2y+3z+2w=0, x+3y+4z+2w=0}について、U+Vの直交基底を１つ求めよ。

グラムシュミットの直交化を使うと思うのですが、U+Vというところで苦戦してます。
解き方教えて下さい。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

w を求めない解法を書いてみるかな。

とりあえず、与えられた行列 M に対して
Ker M の基底は求められないと。
要するに、解不定な一次方程式を解けってこと。
未知数の一部を自由変数扱いにして、
消去法で解く。どれを自由変数にすればいいかも、
消去法の過程で判ります。

例えば、U であれば、
x+y+2z+3w = 0,　　…[1]
3y+3z-2w = 0.　　…[2]
既に [2] に x が無いので、
[2] を使って [1] から y を消せば、
y = -z+(2/3)w.
x = -y-2z-3w = -(-z+(2/3)w)-2z-3w = -z-(11/3)w.
となって、x, y について解けます。
これにより、U の元が
(x,y,z,w) = (-z-(11/3)w, -z+(2/3)w, z, w)
= z(-1, -1, 1, 0) + (w/3)(-11, 2, 0, 3)
と書けます。
Bu = { (-1, -1, 1, 0), (-11, 2, 0, 3) }
が U の基底になるってことです。

V も同様にやって、二個のベクトルからなる基底 Bv
が出てきます。

U＋V の基底は、Bu ∪ Bv の中から一次独立なものを
拾い出せばよいです。それには、直交化が使えます。
Bu ∪ Bv にグラム・シュミット法を適用すると、
今回は結果的に、三個の互いに直交するベクトルと
一個の零ベクトルに変換されます。
その三個のベクトルが U＋V の基底という訳。

グラム・シュミットを使わなくても、Bu ∪ Bv の
元を見ただけで U＋V の次元が解ってしまうようなら、
それで基底ベクトルを選抜するだけでも良いのですが。

お礼

答えがあってるか確認したいので、グラムシュミット適用以下の結果的にを記載していただきたいです_(_^_)_

回答No.2

noname#199771

＞1つずつ、場合分けして、w,u,vのベクトルを求めれば
＞いいことは分かりました。

そうですか？
本当にそうなら次元を求める過程で

＞w,u,vの求め方がわかりません。

わかるはずなのですが。

wの求め方
~~~~~~~~~~~
連立方程式
x+y+2z+3w=0
3y+3z-2w=0
x+2y+3z+2w=0
x+3y+4z+2w=0
の0以外の解を一つ求めます。

uの求め方
~~~~~~~~~~~
連立方程式
x+y+2z+3w=0
3y+3z-2w=0
の解でwと独立なものを一つ求めます。

vの求め方
~~~~~~~~~~~
連立方程式
x+2y+3z+2w=0
x+3y+4z+2w=0
の解でwと独立なものを一つ求めます。

お礼

あっ、納得です！！！！

ありがとうございました

回答No.1

noname#199771

dimU=2, dimV=2, dim(U∩V)=1なので、

U∩Vから0でないベクトルw
Uからwと独立なベクトルu
Vからwと独立なベクトルv

を取ると、{w,u,v}がU+Vの基底になります。
これを直交化すればいいです。

お礼

解答有難うございます。

U＋Vだから、1つずつ、場合分けして、w,u,vのベクトルを求めればいいことは分かりました。

でも、ベクトルw,u,vの求め方がわかりません。
もう少し詳しくお願いします。