行列式

質問

(x1,y1,z1)から(x4,y4,z4)が同一平面上に無いとき
|x1 y1 z1 1|
|x2 y2 z2 1|
|x3 y3 z3 1|
|x4 y4 z4 1|
という行列式が0にならないことを証明してください。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

r1 = (x1, y1, z1)
r2 = (x2, y2, z2)
r3 = (x3, y3, z3)
r4 = (x4, y4, z4)

とすると、問題は r41 = r1-r4, r42 = r2-r4, r43 = r3-r4
の３本のベクトルが張る平行６面体の体積が 0 にならないことと同義

つまり、3重スカラー積

|x1-x4 y1-y4 z1-z4|
|x2-x4 y2-y4 z2-y4| が非ゼロと同義。これは
|x3-x4 y3-y4 z3-y4|

|x1-x4 y1-y4 z1-z4 1 |
|x2-x4 y2-y4 z2-z4 1 |
|x3-x4 y3-y4 z3-z4 1 |
|　０　　０　　０　1 |

と変形できるが、一番右の列を x4倍、y4倍、z4倍して、それぞれ 1, 2, 3 列に足しても
行列式の値は変わらないので

|x1 y1 z1 1 |
|x2 y2 z2 1 |
|x3 y3 z3 1 |
|x4 y4 z4 1 |

補足

わざわざありがとうございます。ベクトルはまだ習っていないので、それ以外の解き方でお願いします。

回答No.1

alice_44

「同一平面上に無い」の定義を考える。

(x1,y1,z1),
(x2,y2,z2),
(x3,y3,z3),
(x4,y4,z4) が同一平面上に無い

⇔

a x1 + b y1 + c z1 = d,
a x2 + b y2 + c z2 = d,
a x3 + b y3 + c z3 = d,
a x4 + b y4 + c z4 = d が成立するような
平面 ax+by+cz=d が存在しない。

⇔

a x1 + b y1 + c z1 = d,
a x2 + b y2 + c z2 = d,
a x3 + b y3 + c z3 = d,
a x4 + b y4 + c z4 = d が成立するような
係数 a,b,c,d で、a=b=c=d=0 以外のものは存在しない。

⇔

四次ベクトル
(x1,y1,z1,1),
(x2,y2,z2,1),
(x3,y3,z3,1),
(x4,y4,z4,1) が一次独立である。

⇔

|x1 y1 z1 1|
|x2 y2 z2 1|
|x3 y3 z3 1|
|x4 y4 z4 1| という行列式が 0 にならない。

補足

わざわざありがとうございます。ベクトルはまだ習っていないので、それ以外の解き方でお願いします。