数Iの問題(式の値) 高校生です

質問

a+b=1
a^3+b^3=1/3

のとき a^2+b^2=□である。

という問題があります。
□は5/9らしいです。

ですが途中式がなく、さっぱりわかりません。どなたか回答お願いします(ノ_<。)

回答No.5

birth11

a+b=1……………………(1)
a^3+b^3=1/3…………(2)

(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)……(展開)……((1),(2)を代入する)
1=1/3+3ab*1 (両辺から1/3を引く)
1-1/3=3ab (左辺右辺入れ替える)
3ab=1-1/3 (右辺を計算する)
3ab=2/3 (両辺を3で割る)
ab=2/9…………………(3)

(a+b)^2=a^2+b^2+2ab……………(展開)……((1),(3)を代入する)
1=a^2+b^2+2*(2/9) (両辺から2*(2/9)を引く)
1-2*(2/9)=a^2+b^2 (左辺を計算する)
5/9=a^2+b^2 (左辺右辺入れ替える)
a^2+b^2=5/9…………(答え)

回答No.4

birth11

a+b=1……………………(1)
a^3+b^3=1/3…………(2)

(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)……(展開)……((1),(2)を代入する)
1=1/3+3ab*1 (両辺から1/3を引く)
1-1/3=3ab (左辺右辺入れ替える)
3ab=1-1/3 (右辺を計算する)
3ab=2/3 (両辺を3で割る)
ab=2/9…………………(3)

(a+b)^2=a^2+b^2+2ab ((1),(3)を代入する)
1=a^2+b^2+2*(2/9) (両辺から2*(2/9)を引く)
1-2*(2/9)=a^2+b^2 (左辺を計算する)
5/9=a^2+b^2 (左辺右辺入れ替える)
a^2+b^2=5/9…………(答え)

回答No.3

uen_sap

どうやっても解けます。
かっこよく、解こうとするからおかしくなってしまうのです。

対象性に注目して解くことがもっともスムーズで、それは既に回答が出ているようですから、
力まかせmethodを下記します。

a+b=1　→　b=1-a
これをa^3+b^3=1に代入すると、aに関する二次方程式ができますので、
これをaについて解くと、a=1/3 or 2/3これに対応するのは　b=2/3 or 1/3

従っていずれの場合もa^2+b^2=5/9

以上

回答No.2

Nakay702

＞a+b=1
＞a^3+b^3=1/3
＞のとき a^2+b^2=□である。
＞という問題があります。
＞□は5/9らしいです。
＞ですが途中式がなく、さっぱりわかりません。どなたか回答お願いします(ノ_<。)

与式と、一般的な因数分解、
a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)
から、
1/3=a^2-ab+b^2 ……(1）

一方、
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 ……（2）

(1）×2+（2）より、
5/3=3a^2+3b^2
5/3=3(a^2+b^2)

∴ a^2+b^2=5/9 …… （答）

回答No.1

yyssaa

＞(a+b)^3=a^3+3ab^2+3a^2b+b^3
から{(a+b)^3-(a^3+b^3)}/3=ab^2+a^2b
(a^2+b^2)*(a+b)=a^3+a^2b+ab^2+b^3に代入して
a^2+b^2=[a^3+[{(a+b)^3-(a^3+b^3)}/3]+b^3]/(a+b)
=[1/3+[{1^3-(1/3)}/3]]/1=1/3+(2/3)/3=1/3+2/9=5/9