数学です。

質問

数学です。
双曲線C : x^2-y^2=1に2点で接する半径rの円Rについて、
円Rの方程式と個数を調べよ。

解けないので、ヒントをよろしくお願いします。

回答No.1

MSZ006 · ベストアンサー

双曲線Cはどんなグラフになるか分かりますか？

【標準形の双曲線】
x^2/a^2-y^2/b^2=1
は、y=±bx/a　を漸近線として、(±a,0)を通る、x軸およびy軸に対称な図形
です。
本問の場合、漸近線はy=±x、（±1,0）を通る双曲線になります。

２本の線に挟まれるような円を考えればよいと分かります。

(1)半径rが１未満の場合は接しません。

(2)半径が１の場合は１個の円が接します。円の方程式は「中心が原点、半径が１の円」です。（考えてみてください）

(3)半径が１より大きい場合は、２個の円が接します。円の方程式は、半径がr、中心座標はy軸上なのはすぐ分かりますね。
　解答の方針としては、
　「双曲線上のある点（（±1,0）を除く）の接線にその接点を通って垂直な線がy軸と交わる点」が中心座標になって、接点からy軸との交点までの長さが半径rになっている」
　と考えるか、
　「円の式を x^2+(y-p)^2=r^2 とおいて、双曲線との交点が２個になるp（ただしp≠0）」
　を考えるかだと思います。
　なお、実際には解いていませんのでこれで行けるかどうかは分かりません・・・全然見当違いかもしれません。

お礼

詳しくありがとうございます。

回答No.4

alice_44

焦点側から内接(？)する奴があるんじゃない？

お礼

そうですね。あるみたいです。回答ありがとうございました。

回答No.3

MSZ006

＃１です。

＃２さんのご指摘ですが、双曲線の片方の線に２カ所で「接する」円は書けないですよね。２カ所で「交わる」円は掛けますが。
図形的な直感です。もしかしたら書けるのかも。

お礼

どうやら、書けたみたいです。ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

「2本ある双曲線の一方とのみ接する」という可能性を排除した根拠はなんでしょうか＞#1.

お礼

回答ありがとうございました。

補足

自分も#1さんと同じように2つの双曲線に挟まったものとして考えていたのですが、1つだけに2点で接するものはありますか? なければどうしたら排除できますか？