数学

質問

分布関数が次のようになるとき、ランダム変数Uの平均を示してください。
F(u)=1-cosu, 0≦u≦π/2
=0,u<0
=1,u>π/2

回答No.5

alice_44 · ベストアンサー

←A No.1 補足
＞ 何で∫uF(u)duでなく∫uF'(u)du なんですか?

U の「平均」の定義は、∫u(uの確率密度)du です。

確率密度の定義により、
分布関数が F(u) であれば、密度関数は dF(u)/du ですね。

http://okwave.jp/qa/q8138498.html
↑の質問文でも思ったのだけれど、
確率分布関数 = 分布関数 = 累積分布関数 と
確率密度関数 = 密度関数 の区別がアヤシイようです。
最低限の言葉は覚えないと、問題以前に、教科書の説明も読めないし。

お礼

ありがとうございました。

回答No.4

info22_

No.2です。

ANo.2の補足質問の回答

>平均って∫[-∞→∞] uF(u)duって教科書に書いてあるんですけど、どうして今回は∫[-∞→∞] uF'(u)duとなるのですか？

教科書に書いてある
　∫[-∞→∞] uF(u)du　← このFは密度関数のF
　∫[-∞→∞] uF'(u)du　← このF'は分布関数のFの微分「密度関数」
　＝∫[-∞→∞] uf(u)du ← このfは「密度関数」
です。
質問の式中のF(u)は（確率）分布関数なので、微分したF'(u)=f(u)（確率）密度関数を使わないといけません。
　密度関数f(u)=F'(u)と分布関数F(u)の関係
　F(u)=∫[-∞→u] f(t)dt
　f(u)=F'(u)

よく教科書で確認ください。

通常は.(確率)密度関数の方を英字の小文字のfを使い、英字の大文字のFを分布関数に使って、区別しています。
質問の問題ではF(u)を分布関数として使っていますので密度関数はf(u)=F'(u)となります。
従って平均値（期待値）は、
　m=∫[-∞→∞] uf(u)du=∫[-∞→∞] uF'(u)du
となるわけです。

お分かり？

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

alice_44

部分積分するなら、一旦微分しなくても、
∫uF'(u)du = [uF(u)] - ∫F(u)du
でいいんじゃない？

= [u(1 - cos u)]_{u=0～π/2} - ∫{u=0～π/2}(1 - cos u)du
= (π/2 - 0) - [u - sin u]_{u=0～π/2}
= π/2 - {(π/2 - 1) - (0 - 0)}
= 1.

F(u) = 1 - cos u なら、
微分してすぐまた積分しても、大した手間じゃないけどさ。

回答No.2

info22_

平均mの定義から
m=∫[-∞→∞] uF'(u)du
=∫[0→π/2] u*sin(u)du
部分積分して
=[-u*cos(u)][0→π/2]+∫[0→π/2] cos(u)du
=0+[sin(u)][0→π/2]
=1

補足

平均って∫[-∞→∞]uF(u)duって教科書に書いてあるんですけど、どうして今回は∫[-∞→∞] uF'(u)duとなるのですか？

回答No.1

alice_44

∫uF'(u)du を計算する。
部分積分が使える。

補足

何で∫uF(u)duでなく∫uF'(u)du なんですか?