多項展開式の係数についてです

質問

（１＋x＋x＾２）＾５を展開したときのx＾３の係数を求めてください。

｛（１＋x）＋x＾２｝＾５のやり方でしていただけると嬉しいです。

回答No.2

info22_

>{(1+x)+x^2}^5 のやり方でしていただけると嬉しいです。
x^3の出る項の組み合わせは
　x^2を1つ、(1+x)を4つ選ぶ組み合わせと
　x^2を選ばず(1+x)を5つ選ぶ組み合わせが
あるから
　5C1*x^2*(1+x)^4+(1+x)^5　...(A)
(A)の中に元の式のx^3の項は全て含まれている。
(A)の中のx^3出る項は
(1+x)^4からxを1つ選ぶ組み合わせと
(1+x)^5からxを3つ選ぶ組み合わせと
がある。すなわち
、5C1*x^2*4C1*x+5C3*x^3=5*4*x^3+5*2x^3=(20+10)x^3=30x^3
故に、(1+x+x^2)^5の展開式のx^3の係数は「30」となります。

お礼

ありがとうございました(*'▽'*)
なんとか理解できました！！

回答No.1

alice_44

(1+x+x^2)(1+x+x^2)(1+x+x^2)(1+x+x^2)(1+x+x^2)
の括弧を展開して x^3 が出てくるのは、
どこかの括弧から x を 3 個, 1 を 2 個持ってきて掛け合わせた項と、
x^2 を 1 個, x を 1 個, 1 を 3 個持ってきて掛け合わせた項。

x・x・x・1・1 の選び出し方は、5C3 = 10 通り、
x^2・x・1・1・1 の選び出し方は、5P2 = 20 通り。

各項の係数 1 を集めて、x^3 の係数は、10+20 通り。

お礼

ありがとうございました(*'▽'*)
そうゆうやり方があるんですね！！