中点連結定理

質問

角BACを直角とする直角三角形ABCにおいて、辺BC上の任意の点Pから、辺AB、ACに垂線PD、PEを下ろした。三角形PDEの面積が最大となるのは、Pがどこにあるときか。（一部改題）

直感的に次のように考えたのですが、証明になっていないようにも思います。これで証明に成功していますか。

PがBにあるとき、三角形PDEの面積は0である。また、PがCにあるときも、三角形PDEの面積は0である。よって、その中間である辺BCの中点に、Pがあるときに、角形PDEの面積が最大になる。

回答No.6

staratras

やや「天下り的」ですが、発想を変えて図形的な考え方を中心にした別解を考えてみました。

問題で与えられた直角三角形ABCと合同な直角三角形を、回転させて斜辺が接するようにつけて長方形ABA‘Cを作ります。
ここで直角三角形ABCの斜辺BCはこの長方形の対角線となります。題意は点Pがこの対角線上を動くとき、Pから長方形の辺ABとCAに下ろした垂線と長方形の2辺の一部で作る図の長方形DPEAの面積が最大となるPの位置と、そのときの長方形DPEAと長方形ABA'Cの面積比（これは△PDEと△ABCの面積比に等しい）を求めることになります。

解答　

（１）Pが対角線BCの中点のとき、つまりBP=BC/2のとき　長方形DPEAにおいてDP=EA=AC/2,PE=AD=AB/2 だから長方形DPECの面積Sは
S=(AC/2)(AB/2)=AB・AC/4

（２）BP'<BC/2 のとき　図のようにPDとP'E'の交点をFとし、P’F=X とおくと　△ABC∽△FP’PよりFP=XAC/AB だから、
長方形D'P'E'Aの面積S'は S'=(（AB/2+X)((AC/2-XAC/AB)=AB・AC/4-XAC/2+XAC/2-(X^2)AC/AB=AB・AC/4-(X^2)AC/AB<S

(3)BP">BC/2 のとき　図のようにPEとP"D"の交点をGとし、PG=X' とおくと　△ABC∽△GPP”よりGP"=X'AC/AB だから、
長方形D"P"E"Aの面積S"は S"=(AB/2-X')(AC/2+X'AC/AB)=AB・AC/4+X'AC/2-X'AC/2-(X'^2)AC/AB=AB・AC/4-(X'^2)AC/AB<S

(1)(2)(3)より、PがBCの中点のとき、長方形DPEAの面積は最大値AB・AC/4となり、三角形PDEの面積も最大値AB・AC/8となる。このとき長方形DPEAと長方形ABA'Cの面積比、すなわち△PDEと△ABCの面積比は１：4となる。

お礼

再度のご教示ありがとうございます。
「回転させて斜辺が接するようにつけて長方形ABA‘Cを作る」という発想はなく、大変勉強になりました。

回答No.5

staratras

△ABCと△DBPと△EPCは相似なのであまり難しく考えることはないのでは…。

△ABC、△DBP、△EPCにおいて、∠BAC=∠BDP=∠PEC=90°　
△ABCと△DBPで∠ABC共通　△ABCと△EPCで∠BCA共通　だから
△ABC∽△DBP∽△EPC

BP/BC=t とおくと　CP/BC=(BC-BP)/BC=1-t
ゆえに△ABC、△DBP、△EPCにおいて相似比が1:t:(1-t)だから
この3つの三角形の面積比は１：t^2:(1-t)^2
△ABCの面積をSとすると△DBPの面積はSt^2,△EPCの面積はS(1-t)^2　となる。

四角形ADPEは長方形なので、△DPEの面積はその1/2である。
したがって△DPEの面積は△ABCの面積から△DBPと△EPCの面積の和を減じたものの1/2であり、
(1/2)(1-t^2-(1-t)^2)S　となる。

上式＝(-t^2+t)S=(-(t-1/2)^2+1/4)S だから　
t=1/2 のとき、すなわちPがBCの中点のときに△DPEの面積は最大値Ｓ/4となる。

△DPE=S/4 △ABC=S だから　直角三角形DPEと直角三角形ABCの面積比は１：４

お礼

図付きの詳しい解説をありがとうございました。
理解出来ました。大変分かりやすかったです。
本当にありがとうございました。

回答No.4

noname#180442

腕力で解答した者です。次のようでもダメでしょうか。

DP//ACより、△PDE=△PDCなので、△PDCと△BACの面積比は、BP=t (0<t<1)とおくと、t(1-t)となります。すると2次関数になって最大値t=1/2を得ます。

お礼

再度のご教示ありがとうございます。

『△PDCと△BACの面積比は、t(1-t)となる。』の部分をもう少し詳しく教えてもらえませんか。BP=t と置いた後に、どうやってt(1-t)の式をだせばいいかがわかりません。よろしくお願いします。

回答No.3

noname#180442

△PDE=△ADPですが、その面積は線分PDと線分ADで決まります。共に変化する量なので、図形的に求めることが難しいです。腕力で解くしか方法が思いつきませんでした。
　BC=a, CA=b, AB=c, BP=tとおいて△PDPの面積をtの2次関数で表せます。すると最大値がt=a/2と出ます。 これだとダメでしょうか。

お礼

回答有り難うございます。
二次関数を利用するのは思いつきませんでした。
なお、改題前の問題は次の通りです。

角BACを直角とする直角三角形ABCにおいて、辺BC上の任意の点Pから、辺AB、ACに垂線PD、PEを下ろした。三角形PDEの面積が最大のときの三角形DPEの面積と直角三角形ABCの面積との比はいくらか。

答え　１：４

回答No.2

alice_44

よって、その中間である辺BC上のどこかに Pがあるときに、角形PDEの面積が最大になる。
…なら、正解。「中間」を、無闇に拡大解釈したのが敗因かな。

お礼

回答有り難うございます。
仰る通り、最大になるのは、辺BC上のどこかであり、中間とは限りませんね。
出直します。

回答No.1

Tacosan

はい, ただの直感であってまったく証明になっていません.

これではせいぜい「P が辺BC の (端点でない) どこかにあるときに面積が最大になる」としか言えません. 特に, 「P が辺BC の中点のときに最大になる」理由がまったくわかりません.

お礼

回答有り難うございます。
仰る通りですね。
再考します。