三平方の定理

質問

次の問題を教えて下さい！

(1)∠E=90゜の直角三角形ABEと合同な直角三角形を上の画像のように並べます。
このときa^2＋b^2=c^2が成り立つことを証明しなさい。

(2)下の画像で∠C=90゜である直角三角形ABCで点Cから辺ABに垂線CDをひくと△CBD.△ACD.△ABCはすべて相似になります。
それぞれの面積をP.Q.Rとして相似比と面積比の関係を使ってa^2＋b^2=c^2が成り立つことを証明しなさい。

よろしくお願いします(・∀・)

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

とりあえず設問1
四角形ABCDは正方形である。その面積はc^2である。
△ABEの面積はab/2である。
四角形EFGHの面積は四角形ABCDから△ABEの4個分を除いたものである。
その値はc^2 - 2abである。 …… (1)
また、四角形EFGHは正方形であり、その1辺の長さはa - bである。 …… (2)
(1)(2)より、
(a - b)^2 = c^2 - 2ab
a^2 - 2ab + b^2 = c^2 - 2ab
∴a^2 + b^2 = c^2

お礼

ありがとうございます(・v・pq)

回答No.2

Dr-Field

設問２について

△ABCと相似な△ACDについて、AB:AC＝c:bだから、△ABCと△ACDの面積比はc^2:b^2となり、△ACD＝(b^2/c^2)*△ABC → Q=(b^2/c^2)*R
同様に△CBD＝(a^2/c^2)*△ABC → P=(a^2/c^2)*R
△ABCの面積R=P+Qだから、R=(b^2/c^2)*R＋(a^2/c^2)*Rとなり、(b^2/c^2)+(a^2/c^2)=1となり、a^2+b^2=c^2となる。

お礼

ありがとうございました！