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数III積分(基礎)の質問です。
alice_44の回答
置換積分でやりたいですか? 被積分関数に x^2+1 というカタマリを見かけたときは、 x = tanθ を考えると上手くゆく場合があります。 今回は、 ∫[-1~1] (x^2+x)/(x^2+1)^2 dx = ∫[-π/4~π/4] {(tanθ)^2+(tanθ)}/{(tanθ)^2+1}^2 {1/(cosθ)^2} dθ = ∫[-π/4~π/4] {(sinθ)^2 + (sinθ)(cosθ)} dθ = (1/2) ∫[-π/4~π/4] {1 - cos(2θ) + sin(2θ)} dθ = (1/2) [θ - (1/2)sin(2θ) - (1/2)cos(2θ)]_(θ=-π/4~π/4) = (1/2) { {π/4 - (1/2)sin(π/2) - (1/2)cos(π/2)} - {-π/4 - (1/2)sin(-π/2) - (1/2)cos(-π/2)} } = (1/2) {π/2 - sin(π/2)} = (π-2)/4 となりますね。
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