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放物運動です
Quarksの回答
- Quarks
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この問題を、どのように解釈(数式で表現できるように)すれば良いかを考えましょう。 まず、「フェンスの上端に接してホームランになる」ということは、どのように解釈すれば良いか。 図をじっくり見ましょう。 ボールがどのように飛んでいこうとも、その軌跡が「放物線」になることはわかります。 そして、今問題にしている軌跡は、点O(その座標は x=0,y=0)と、フェンスの上端の点P(x=L,y=h)とを通る、上に凸の放物線です。 もちろん、その放物線上の2点だけがわかっていても、放物線は1つには決まりませんから、可能な軌跡は無数に有ることでしょう。つまり、この条件だけでは、軌跡(=ボールの飛行軌道)を決定することはできないということです。 とは言え、1つには決まりませんが、どんな軌跡になるかを数式で表現することはできます。この数式が、問題で要求されている1つ目の答(ボールが外野スタンドの上端に接してホームランとなる条件)となります。 物理の問題に戻って、その式を作ってみましょう。 求める軌跡が満たす条件は、 条件:ボールが水平方向に L[m]進んだとき、地面からの高さがh[m] です。ボールが移動するためには、時間を要しますから、OからPに達するまでの時間をt[s]としてみましょう。初速度をV[m/s],射出角度をθとします。 ボールの運動は、よく知られているように、水平方向(つまりx軸方向)には「等速運動」、鉛直方向(y軸方向)には、「鉛直投げ上げ運動」ですから… L=(V・cosθ)・t h=(V・sinθ)・t-(1/2)g・t^2 2つの式から、tを消去すれば、軌跡の方程式(つまり、答)が得られます。 h=L・tanθ-(1/2)・g・(L/(V・cosθ))^2 これが、1番目の答になります。 次の問題に取りかかるために、三角関数部分を統一しておきましょう。三角関数の公式 1/(cosθ)^2=1+(tanθ)^2 を使うと、三角関数部分はtanθの形に統一できて h=L・tanθ-(1/2)・g・(L/V)^2・(1+(tanθ)^2) となります。こちらを答としても良いかも知れません。 フェンスの上端をかすめてホームランになる条件は手に入りました。次に考えるのは、初速度Vの最小値です。初速度が極端に遅かったら、ホームランになるはずがありませんから、確かに、ボールの初速度には最小値が有るだろうということが予想されます。 先の答の式は、2つの変数Vとθの方程式ですから、Vをθの関数として表現できることを意味しています。そのVが正の最小値となる条件を探せば良いということになります。見易くするために tanθ=x の置き換えをして、V^2 を表す式に変形すると V^2=((g・L^2)/2)・{(1+x^2)/(L・x-h)} 式(ア) 右辺が最小値を持つ条件を調べれば良いことになります。 ただし、 x=tanθ>=(h/L) という条件が付いています。この条件が無いと、どんなにVが大きくてもフェンスを超えられません。理由は、図で確かめて下さい。とはいえ、問題の性質上、この条件をクリアする値が存在することは明らかですが… 最小値を求める作業に戻ります。V^2を表す式の定数部分は省略して f(x)={(1+x^2)/(L・x-h)} としておきます。 f(x)が最小値を持つ条件ですが、問題の性質上、最小値を持つことが明らか なので、右辺は極値を取ることが明らかです。言い換えれば、f(x)をxで 微分して得られる導関数が0となる条件こそが、求める条件だと想像できます。 細かい変形の確認は、質問者さんにしてもらうことにして省略しますが x(=tanθ)={h+√(L^2-h^2)}/L 式(イ) のとき、f(x)は最小値を取るようです。そのときのVの値は、(ア)に(イ)を代入して V=… ちなみに、それらしい値を代入してみると、L,hの値にもよりますが、 Vは、ほぼ140[km/h]くらい、θは45°をちょっと超えるくらいの角度のようです。
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