証明の問題です

質問

C1*sinx+C2*sin2x+....+Cn*sin(nx)=0 であるための必要十分条件はC1＝C2＝CN＝０であることの証明を教えてください。

回答No.4

alice_44

x に何か n 個の値を代入して、C1,C2,…,Cn についての
連立一次方程式を解くだけでもよいはず。
斉次線型方程式だから、正則であることさえ示せば
C1 = C2 = … = Cn = 0 が言えるが、
正則性の計算が瞬殺できるような x の値の組を思いつかない。

回答No.3

alice_44

別解も書いてみる：

第二チェビシェフ多項式 Uk を使って、sin(kx) = (sin x) Uk(cos x)。
C1 sin(x) + C2 sin(2x) + … + Cn sin(nx) = 0 は、
(sin x){ C1 U1(cos x) + C2 U2(cos x) + … + Cn Un(cos x) } = 0
と変形できる。これが x について恒等だから、
C1 U1(cos x) + C2 U2(cos x) + … + Cn Un(cos x) = 0。
(x ≠ mπ (mは整数) のとき上式が成り立ち、x → mπ の極限をとれば穴が埋まる。)

y = cos x で置き換えると、
|y| ≦ 1 の範囲で C1 U1(y) + C2 U2(y) + … + Cn Un(y) = 0。
Uk(y) は y の k-1 次多項式だから、高次から係数を決めてゆけば、
Cn = … = C2 = C1 = 0 と判る。

回答No.2

alice_44

∫[-π≦x≦π] f(x) sin(kx) dx = π Ck は、

積分を f(x) の項ごとに分解して
∫[-π≦x≦π] sin(mx) sin(kx) dx
= ∫[-π≦x≦π] (1/2){ cos((m-k)x) - cos((m+k)x) } dx
= (1/2)∫[-π≦x≦π] cos((m-k)x) dx - (1/2)∫[-π≦x≦π]cos((m+k)x) dx
と、

a ≠ 0 のとき
∫[-π≦x≦π] cos(ax) dx
= [ (1/a)sin(ax) ]_(-π≦x≦π)
= 0,
a = 0 のとき
∫[-π≦x≦π] cos(ax) dx
= ∫[-π≦x≦π] 1 dx
= 2π
とから出る。

回答No.1

alice_44

定番のやり方：

f(x) = C1 sin(x) + C2 sin(2x) + … + Cn sin(nx)
と置き、k = 1, 2, …, n の各 k について、
∫[-π≦x≦π] f(x) sin(kx) dx を計算してみる。

∫[-π≦x≦π] f(x) sin(kx) dx = π Ck であることが判るから、
f(x) = 0 (恒等) であれば、C1 = C2 = … = Cn = 0.