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微分方程式の問題
Knotopologの回答
与式: 3(x^2)y''-xy'+y=0 は,2階線形の微分方程式なので,一般解は,積分定数を A, B として, y=Au(x)+Bv(x) で表せることになります.この u(x) と v(x) を求める問題です. 2階線形常微分方程式は,解を求める為の決まった一般的な方法が無く,微分方程式が具体的に与えられて,はじめて,解を探す方法を考えることになります. いまの場合は,y=x が,一つの特殊解 u(x) に相当することが,直ぐに分かります.これは,x を微分すると 1 になり,x を2回微分すると 0 になる事から,与式: 3(x^2)y''-xy'+y=0 を見た時に,直感的にひらめくのです. この特殊解 y=x を,与えられた式 3(x^2)y''-xy'+y=0 から直接計算で導く方法はありません.常微分方程式の解を仮定してみて,それが与えられた微分方程式を満たすかどうかを計算するだけです. さて,一つ目の特殊解 u(x)=x を得たら,二つ目の特殊解 y は, u(x)=x の x を用いて, y=xg ・・・・・ g は x の関数. とおく事により求まります.計算しますので,検算してみて下さい. y'=xg' + g y''=xg'' + 2g' 3(x^2)y''-xy'+y = 3xg''+ 5g'=0 3xg''+ 5g'=0 により計算すると, g''/g'= -5/(3x) → ∫ g''/g' dx = (-5/3)∫1/x dx log(g')=(-5/3)log(x) ・・・・・ log は自然対数. g'=x^(-5/3) → ∫g'dx = ∫x^(-5/3) dx g =(-3/2) x^(-2/3) 故に,y=xg は, 【 係数(-3/2) は,積分定数に含まれるので,以下では省略(書かない)する 】 y=x*x^(-2/3)=x^[(-2/3)+1]=x^(1/3) y=x^(1/3) ・・・・・ これが,v(x) に相当する. したがって,与式の一般解は, y=Ax+Bx^(1/3) です.( A,B は積分定数)
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