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ロピタルの定理を使った問題について
alice_44の回答
(1) lim[x→∞] (log x)/e^x = (1/x) / e^x じゃなく、 lim[x→∞] (log x)/e^x = lim[x→∞] (1/x) / e^x でしょう? lim[x→∞] (1/x) = 0, lim[x→∞] e^x = ∞ なのだから、 lim[x→∞] (1/x) / e^x = 0 です。 ロピタルの定理は、不用意に便利過ぎて、摘要条件や ひどい場合は使い方すら理解せずに、何となく運用している人が 少なくありません。だから、必要も無いときにやたらと使うな… と、機会あるごとに書いているのですが。 この例も、 lim[x→∞] (log x)/e^x = lim[x→∞] { (log x)/x }{ x/e^x } で処理できます。 (2) lim[x→+0] x log(x^2) = 2 lim[x→+0] x log(x) = 2 lim[y→∞] -y/e^y ←{y = -log(x) で置換} (3) lim[x→∞] xe^(1-x) = lim[x→∞] xe/e^x lim[x→∞] x/e^x が解らなければ重篤ですが、 証明を要するということであれば、e^x のマクローリン展開を 途中で打ち切って e^x < 1 + x + x^2/2 から 0 < x/e^x < x/(1 + x + x^2/2) とハサミウチにできます。 lim[x→∞] (log x)/x = lim[z→∞] z/e^z も、同じことですね。
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ありがとうございます。とても参考になります。ロピタルの定理、とりあえず分からずに使っていました。理解が深まりました。