- 締切済み
tanθ=9a^2/(1+36a^4)だとする
- みんなの回答 (5)
- 専門家の回答
みんなの回答
- ereserve67
- ベストアンサー率58% (417/708)
ANo.2です.補足への回答です. >k=tanφ(0<φ<π/2)と置けるのは何故ですか? >aは正の実数値を取りながら変化するからkも正の実数値を取りながら変化しますよね >するとtanφ(0<φ<π/2)のとりうる値とkのとりうる値が変わってきませんか? tanφ(0<φ<π/2)は正の実数値すべてを動きます.φを直線y=mxとx軸正方向のつくる角と考えれば m=tanφ ですよね.0<φ<π/2はmが傾きとしてすべての正の実数値をとることを意味します. あるいはy=tan(x)(0<x<π/2) のグラフの値域を見て下さい(図).すべての正の値をとります.
- quadlike
- ベストアンサー率58% (10/17)
理系の人ならば,既に回答されているように,単純に f(a)=9a^2/(1+36a^4) として,a で微分して最大値を求めてやればよいです. ただし,分数の微分ということで計算がやや面倒です. 以下では,文系の人向け別解を二つ紹介します. <別解1:相加相乗平均> a^2>0 なので,分子分母を a^2 で割ります.すると, 9a^2/(1+36a^4)=9/((1/a^2)+36a^2) です.相加相乗平均の関係より, (分母)=(1/a^2)+36a^2≧2√((1/a^2)・(36a^2))=12 です.従って, 9/((1/a^2)+36a^2)≦9/12=3/4 となって最大値は 4/3 とわかります.等号が成立するのは, 1/a^2=36a^2 ∴a=1/√6 のときです. <別解2:グラフの交点> 2つのグラフ y=9a^2/(1+36a^4)と y=k を考えます.この2つのグラフが交点を持つような k の範囲を求めることを考えます.この k の範囲は,グラフを考えれば, y=9a^2/(1+36a^4) の最大値と最小値を与えることがわかります.上の2式からyを消去すると, 9a^2/(1+36a^4)=k ……(1) ⇔ 36ka^4-9a^2+k=0 ⇔ 36kx^2-9x+k=0 (x=a^2>0) 従って,2次方程式 36kx^2-9x+k=0 が実数解を持つようなkの範囲を求めればいいわけです.そこで,関数 f(x)=36kx^2-9x+k を考えます.(1)の左辺は正なので,k>0 です. f(0)=k>0 f(x)=36k(x-1/(8k))^2+k-9/(16k) から,36kx^2-9x+k=0 が実数解をもつのは, k-9/(16k)≦0 ∴0<k≦3/4 とわかります.以上より, 0<9a^2/(1+36a^4)≦3/4 です.従って,最大値は 3/4 です.このときの a はa=1/√6です.
お礼
色々な回答があるんですね 回答ありがとうございました
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
No.1です。 ANo.1の補足について >π/2>θ>0を書き忘れていました なら ANo.1の回答で >θの範囲が0≦θ≦πなら の所が 「θの範囲が 0<θ<π/2あるから」 とするだけで他には影響がありません。 なお、添付グラフのx軸がよく見えませんので、右クリックして「拡大」をセレクトすればよく見えます。
お礼
わかりました 回答ありがとうございました
- ereserve67
- ベストアンサー率58% (417/708)
tanθは任意の実数値をとり,θの周期関数ですから,θはいくらでも大きな値をとりえます.ふつうは -π/2<θ<π/2 とすればy=tanθは連続な単調増加関数になり逆関数 θ=Arctan(y) も連続な単調増加関数なのでそうしましょう. 6a^2=k>0 とおくと tanθ=(3/2)(6a^2)/{1+(6a^2)^2} =(3/2)k/(1+k^2)=f(k)(k>0) とかけます.これが最大のときθも最大になります. k=tanφ(0<φ<π/2) とおくと tanθ=f(k)=f(tanφ) =(3/2)tanφ/(1+tan^2φ) =(3/2)tanφcos^2φ=(3/2)sinφcosφ =(3/4)sin(2φ)(0<2φ<π) これは2φ=π/2,φ=π/4のとき最大値3/4をとり,同時にθも最大値 θ=Arctan(3/4)≒0.6435011088(ラジアン) をとります.またこのとき 6a^2=k=tanπ/4=1,a=1/√6 となります. まとめると 『a=1/√6のときθは最大でそのときtanθ=3/4』
お礼
回答ありがとうございました わかりました
補足
すみません疑問があります k=tanφ(0<φ<π/2)と置けるのは何故ですか? aは正の実数値を取りながら変化するからkも正の実数値を取りながら変化しますよね するとtanφ(0<φ<π/2)のとりうる値とkのとりうる値が変わってきませんか?
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
f(a)=9a^2/(1+36a^4)とおくと f(a)はaの偶関数。 f'(a)=-18a(6a^2-1)(6a^2+1)/(36a^4+1)^2 f''(a)=18(3888x^8-432x^4+1)/(36x^4+1)^3 f'(a)=0とするaは a=±1/√6,0 a=±1/√6のときf''(a)=-16<0なので極大値f(a)=3/4 a=0のときf''(a)=18>0なので極小値f(a)=0 f(a)の増減表を作成(ご自分で作成でする)して f(a)のグラフを描く。 添付図のようなグラフになります。 0≦f(a)≦3/4 0≦tanθ≦3/4 tanθは周期πの周期関数です。 θの範囲が問題に書いてないですか? θの範囲が0≦θ≦πなら 0≦f(a)=tanθ≦3/4,0≦θ≦tan^-1(3/4)なので θ=tan^-1(3/4)が最大値 θが最大値tan^-1(3/4)をとる時のaは a=±1/√6。この時のtanθ=3/4。
お礼
回答ありがとうございました
補足
すみません、π/2>θ>0を書き忘れていました
関連するQ&A
- αはtan α =1/5を満たす。tan 4α, tan (4α -π
αはtan α =1/5を満たす。tan 4α, tan (4α -π/4 )を求めよ。 という問題をmaximaを使ってやってみたいので,教えてください。 下のようなことまで調べました。 tan 2α の値を求めます。2 倍角の式より tan 2α =2 tan α/1 - tan2 α=5/12 もう一度2 倍角の式を用いれば、tan 4α の値が tan 4α =2 tan 2α/1 - tan2 2α=120/119 tan (4α -π/4 )=(tan 4α - tan π/4)/(1 + tan 4α tan π/4)=1/239
- ベストアンサー
- 数学・算数
- tanθって|tanβ-α|?それともtan|β-α|?
y=x^2上の2点A(a,a^2),B(b,b^2)における2接線のなす鋭角θを求める問題 なのですが、Aにおける接線とx軸のなす角をα、Bにおける接線とx軸のなす角β とすると、tanθ=|tanβ-α|と書かれてあったのですが、なぜtan|β-α|では ないのでしょうか?また、tan|θ|と|tanθ|はどう違うのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- tan(aX)/tan(a)=?tanの割り算
tan(aX)/tan(a)を解いていきたいのです。 タンジェント同士の割り算で、これ以上形を変えられないものでしょうか? X<tan(aX)/tan(a)を証明したいです。 以上よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- tan^-1電卓を使わなくてもできますか
ある、角度を求めよ、という問題を解いているんですが、最後の計算が (tanθ1/tanθ2)=(1/80) tanθ2=(1/80) θ2=tan^-1(1/80) となり(ここまではあっていると思うのですが)、 このθ2の数値が出せません。 関数電卓を使わなくても求めることってできますか。 良かったらお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- tan35°の求め方
角度35度の直角三角形の対辺(C:高さ)が判っていれば 底辺(B)の長さは tan35 = 対辺/底辺 の式から B = C / tan35 で求められるのは判ってるのですが 高校では tan45 と tan30 の2つの値を丸暗記せせられただけで どのようにしてtan35 や tan40 の値を計算すればいいのかわかりません。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- △ABCが鋭角三角形のときtan(A)tan(B)tan(c)≧3√3
△ABCが鋭角三角形のとき、 tan(A)tan(B)tan(c)≧3√3 が成り立つことを凸関数を用いて示したいのですが、どのような凸関数を使えばよいのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- sin, cos, tan
わからない問題があり,投稿しました。 回答、よろしくお願いします。 1. Sin75°cos63°tan57°を45°以下の鋭角の三角比で表せ。 2. tan20°tan70°の値を求めよ。 3. cos^2 10°+cos^2 20°+cos^2 70°+cos^2 80°の値を求めよ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ようやく分かりました ありがとうございました